Estoy buscando comentarios y referencias acerca de una idea : la medición de la Dirac representación de las matrices de Dirac. ¿Qué tipo de interacción de campo tendría que dar ?
Específicamente, la ecuación de Dirac es definido como este (campo libre, para empezar) : \begin{equation}\tag{1} \gamma^a \; \partial_a \Psi + i \, m \, \Psi = 0. \end{equation} Por definición, el valor de gamma, matrices obedece a la siguiente relación : \begin{equation}\tag{2} \gamma^a \, \gamma^b + \gamma^b \, \gamma^a = 2 \, \eta^{ab}. \end{equation} Cualquier conjunto de 4 matrices que obedece esta relación puede ser utilizado en la ecuación (1) anterior (es habitual Dirac representación, Weyl representación, Majorana representación, etc). Todas las representaciones están relacionadas por una transformación unitaria : \begin{align}\tag{3} \tilde{\gamma}^a &= U \, \gamma^a U^{\dagger}, \\[12pt] \tilde{\Psi} &= U \, \Psi. \tag{4} \end{align}
Ahora, supongamos que la representación se convierte en un local symetry de la ecuación de Dirac ; $U \Rightarrow U(x)$. A continuación, necesitamos cambiar la derivada parcial : \begin{equation}\tag{5} \partial_a \Rightarrow D_a \equiv \partial_a + i C_a(x), \end{equation} donde $C_a(x)$ es un nuevo medidor de campo.
Yo no persigue más que la idea por falta de tiempo. Pero me gustaría saber si esta idea ha sido explorado por alguien más (surrely ya fue estudiado antes !).
Entonces, ¿qué da ? Qué tipo de interacción medidor de campo ? Es allí cualquier problema matemático con esto ?
EDIT : Solo un par de comentarios más :
El grupo de Lorentz que actúa sobre el campo de Dirac es representado por $SL(4, \mathbb{C})$, y de sus elementos, no son todos los unitaria de las matrices : las rotaciones son representados por matrices unitarias, pero no es la pura transformación de Lorentz.
La medición de la Lorentz grupo da la gravitación (esto es bien conocido y es una parte de la clásica de la relatividad General). Luego de calcular el $\gamma$ representación será, sin duda interferir con la gravitación medidor de campo (veirbein y su giro de conexión), ya que algunos unitaria de las matrices puede representar rotaciones (pero no todos unitario matrices !).
No creo que el grupo de transformaciones que están cambiando la $\gamma$ de representación es la misma que la de Lorentz grupo (es decir,$SL(4, \mathbb{C})$), pero puedo estar equivocado.
¿Cuál es el grupo completo que es la definición de la $\gamma$ representaciones ? ¿Realmente debe ser unitario, es decir,$SU(4)$ ? Yo sospecho que son sólo la similitud de las transformaciones, por lo que cualquier invertible 4 X 4 matrices puede ser bueno, no sólo unitario de las matrices.
En otras palabras, hay una transformación de $SL(4, \mathbb{C})$ (desde el grupo de Lorentz) que pueden cambiar la costumbre de las matrices de Dirac para el Weyl matrices y a los Majorana matrices ?
