¿Existe un conjunto medible $A$ tal que $m(A \cap B)= \frac12 m(B)$ para todo conjunto abierto $B$ ?
Editar: (t.b.) Véase también Una cuestión de medidas de Lebesgue para obtener más respuestas.
Una pista: Teorema de la densidad de Lebesgue .
Alternativamente, se puede aproximar $A\cap[0,1]$ con una unión finita de intervalos.
Pensándolo bien, esas pistas son demasiado complicadas. Se puede utilizar la definición de medida de Lebesgue para encontrar un conjunto abierto $B$ que contiene $A\cap[0,1]$ con medida cercana a la de $A\cap[0,1]$ .
Gracias Jonas, pero rápidamente busqué el teorema de la densidad de Lebesgue pero no estaba seguro de cómo aplicarlo. como tu otra sugerencia. sé que m(A [0,1])=1/2, no estoy seguro de lo que estás tratando de decir al aproximarlo con la unión finita de intervalos
Para la densidad de Lebesgue, piense en lo que dice para la intersección de $A$ con pequeños intervalos. Para la segunda pista, para todo conjunto de medida finita $E$ (aquí $E=A\cap[0,1]$ ) y cada $\varepsilon>0$ existe una unión finita de intervalos $U$ tal que la medida de la diferencia simétrica de $E$ y $U$ es menor que $\varepsilon$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
