Cómo demostrar geométricamente que si tenemos una tangente de la elipse con un foco F y F en el punto P, que la tangente es bisectriz del ángulo entre la línea que une el foco F en el punto P y la recta F P fuera de la elipse?
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dtldarek
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Supongamos que usted desea encontrar el camino más corto de $A$ $B$que toca la línea inclinada. Observar que si queríamos reflejar $B$, entonces la distancia de $A$ $B$e de $A$ $B'$son el mismo, pero el camino más corto de $A$ $B'$es una línea recta, la solución de la siguiente manera. La parte interesante es que, debido a la reflexión, los ángulos marcados en rojo son iguales.
Deje $f(X) = |FX| + |F'X|$, de modo que la elipse es exactamente el conjunto $f^{-1}\big(f(P)\big)$. Tenga en cuenta que para cualquier punto de $X$ fuera de la elipse tenemos $f(X) > f(P)$, en la elipse tenemos igualdad, y dentro de $f(X) < f(P)$. Además, para cualquier punto de $Y$ sobre la tangente establecimiento $Y=P$ minimiza $f(Y)$, la suma de las distancias de$F$$F'$, exactamente como en el primer diagrama. Por lo tanto, los marcados ángulos son otra vez igual.
Espero que esto ayude a $\ddot\smile$
Peter
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La respuesta de abel y Jantomedes de arriba es la correcta geométricas y de fácil construcción, corto de dibujos. Aquí es una mejor presentación para que, en la página 4, (en alemán), con un claro dibujo, en http://www.mathematikunterricht.de/lehrplan/Planungen11.PDF.
Puedo agregar la página a continuación, en caso de que la fuente original desaparece, y el autor es probablemente Monika Schwarze.
También hay una sencilla prueba analítica de la reflexión de la propiedad. Me presente en corto en el caso de que la fuente original desaparece. Considere la posibilidad de P, F1, F2 como vectores . es el producto escalar. |x| es la norma del vector. Consideramos
(1) |P-F1|+|P-F2|=const, que es una definición de elipse. Suponga que P es parametrizadas como P(t), y se diferencian por t. No importa, lo que t es en realidad. Recibimos, después de no mucho cálculo, con n como un vector en la dirección de la tangente,
(2) n . (P-F1)/|P-F1| + n . (P-F2)/|P-F2| = 0.
Esto demuestra que cos(ángulos) son opuestos, y los ángulos son iguales.
Esta prueba es de Omar Antolín Camarena : http://www.math.harvard.edu/~oantolin/notes/conicrefl.html
Abajo está la construcción geométrica de Planungen11.PDF
Phonics The Hedgehog
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aquí está mi intento. deseo me pueden enviar una figura a ir con esto, pero no sé cómo hacer uno.
dejar que los dos focos ser $F_1$ $F_2.$ sólo así puede visualizar mantenga $F_1$ a la izquierda de $F_2.$
(a) elija un punto de $P$ sobre la elipse.
(b) extender $FP$$FP^\prime$, de modo que $F_2P = PP^\prime.$
(c) $M$ es el punto medio de la $PP^\prime$, de modo que $PM$ ibisects el ángulo de $\angle F_2PP^\prime$ y es la mediatriz de $F_2P^\prime$
(d) escoger un punto de $Q$ $P$ $M$ sobre el segmento de línea $PM.$
vamos a mostrar que la bisectriz de un ángulo $PM$ es la tangente a la elipse definida por $F_1P + F_2P = k = constant$ mostrando que $Q$ está fuera de la elipse mediante el establecimiento $$F_1Q = F_2Q > k \mbox{ for } Q \neq P \mbox{ on the line } PM.$$
prueba de reclamación: $$k = F_1P + F_2P = F_1P + PP^\prime = F_1P^\prime< F_1Q + QP^\prime = F_1Q + F_2Q. $$
Vamos a probar la focal de la propiedad por demostrar que la tangente corta al ángulo dado. Para ello, vamos a biseca el ángulo ángulo con una línea y demostrar que esta línea es la tangente al mostrar que no hay otros puntos que pertenecen a la elipse en esa línea. Es bastante obvio que para una elipse en un punto no puede ser sólo una tangente.
Tenemos la elipse con focos en $F_1$ $F_2$ y un punto de $P$ en la elipse de la curva. Vamos a tener la línea de $k$ que va a ser la bisectriz de la $F_2PF'$ ángulo. Vamos a ampliar un poco el rayo $F_1P$ y en el lugar hay un punto de $F_2'$, lo que es reflejo de punto de $F_2$ en la línea $k$. Como $F_2'$ es el reflejo, $PF_2=PF_2'=const=2a$ donde $2a$ es el eje principal.
Si $k$ es la tangente, la intersección de la elipse en un solo punto que es$P$, pero si no la tangente, habrá un segundo punto de intersección. Imaginemos un punto de $Q$ en algún lugar de la línea de $k$. Si también pertenece a la elipse, podemos demostrar de manera análoga que $QF_2 = QF_2'$$F_1Q + QF_2'=const=2a$.
Por lo tanto, $F_1Q+QF_2' = F_1F_2'$, pero desde el triángulo de la posibilidad del estado (bueno, no estoy seguro de cómo lo llamamos en inglés) $F_1Q+QF_2' > F_1F_2'$ por lo tanto no puede existir un punto P que pertenece a la elipse y de la línea de $k$ otros de $P$, por lo que la línea de $k$ es la única posible tangente en el punto de $P$.
Eso implica que el ángulo entre el foco y la recta tangente $k$ es igual al ángulo entre el $k$ y el segundo foco. Que es el centro de la propiedad de la elipse.
Nota 1: se me olvidó ocultar el punto B sobre la imagen. Es inútil.
Nota 2: El punto de $F_2'$ se llama $F'$ en la imagen, mi error otra vez.
flawr
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Se sabe que un rayo proveniente de F, lo que se refleja en el P ir o F'. Usted, evidentemente, obtener la misma reflexión si reemplazar el ellipes con la tangente en el punto P. por lo Tanto la normal de la recta tangente se biseca el ángulo de la entrantes y salientes ray. Esto implica que la recta tangente a sí mismo se biseca el suplemento del ángulo.
