Desigualdad de la raíz cuadrada

Question

¿Cómo puedo demostrar la siguiente desigualdad?

Dado $ a,b>0 $ y $a^2>b $ tenemos $a>\sqrt b$

Gracias.

Answer 1

$a^2 > b \Leftrightarrow (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) > 0$

Ambos factores deben ser positivos, ya que ambos $a$ y $\sqrt{b}$ son positivos. En particular, $a - \sqrt{b} > 0$

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De hecho, estoy a hombros de gigantes ...

Answer 2

Supongamos lo contrario, es decir, que $a\leq \sqrt{b}$ . Entonces $a^2=a\cdot a\leq \sqrt{b}\cdot a\leq \sqrt{b}\cdot\sqrt{b}=b$ Así que $a^2\leq b$ , contradiciendo el hecho de que $a^2>\sqrt{b}$ .