¿Regla de la cadena y funciones con valor vectorial?

Question

Dejemos que $f: R^n \to R$ sea dada por $f(x) = \frac{||x||^4} {1 + ||x||^2}$ . Utilice la regla de la cadena para demostrar que $f$ es diferenciable en cada $x \in R^n$ y calcular $Df(x)$ .

Esta cosa de valor vectorial salió de la nada. No está en nuestro libro y lo pasamos súper rápido... así que yo, y muchos otros, estamos completamente perdidos. Por lo que puedo adivinar, cada $x$ es un vector de longitud "n", y $||x||$ se supone que es la norma... Como la pregunta no lo especifica, asumo que es la norma euclidiana estándar. También, $D$ debe ser una matriz n*n de derivadas parciales? Asumiendo que todo eso es correcto, he estado sentado tratando de averiguar cómo hacer uso de la regla de la cadena, pero no tengo nada :/

Answer 1

Recapitulemos algunas cosas: En general $f=(f_1,\ldots,f_m):U\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ (donde $U$ el dominio de $f$ está abierto en $\mathbb{R}^n$ ) y $x\in U$ , $Df(x)$ es el jacobiano (o más bien la transformación lineal asociada a él), dado por $$Df(x)=\left[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)\right]_{\substack{i=1,\ldots,m\\j=1,\ldots,n}}$$ (siempre que tenga sentido). A partir de esta definición, lo siguiente es obvio:

• Cuando $m=1$ , $Df(x)$ es simplemente una fila, y de hecho es igual a $\nabla f(x)$ el gradiente de $f$ en $x$ .

• Cuando $n=1$ , $Df(x)$ es una columna, donde cada entrada es simplemente la derivada de $f_j$ en $x$ .

• Cuando $m=n=1$ , $Df(x)$ es un número, igual a $f'(x)$ .

Ahora recuerda el Regla de la cadena :

Para $f:U\subseteq \mathbb{R}^n\to V\subseteq\mathbb{R}^m$ y $g:V\subseteq\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$ , $$D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))Df(x),$$ donde el lado derecho es un simple producto de matrices.

Ahora a tu problema: para usar la regla de la cadena, tienes que ver $f$ como una composición de dos funciones más simples, que son diferenciables en todas partes. Si ponemos $h:\mathbb{R}^n\to(0,\infty)$ como $h(x)=\Vert x\Vert^2$ y $k:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ por $k(t)=\frac{t^2}{1+t}$ tenemos $f=k\circ h$ y es más fácil de calcular $Dh$ y $Dk=k'$ .

Te dejaré los detalles, pero esto es lo que deberías conseguir: Para $x=(x_1,\ldots,x_n)$ Utiliza la definición de $Dh(x)$ para encontrar $Dh(x)=2[x_1\ x_2\cdots x_n]$ .

Para $k$ , el cálculo de una variable da $k'(t)=\frac{t^2+2t}{(1+t)^2}$ .

Por la regla de la cadena, $$Df(x_1,\ldots,x_n)=2\frac{(\Vert x\Vert^4+2\Vert x\Vert^2)}{(1+\Vert x\Vert^2)^2}[x_1\cdots x_n]$$

Answer 2

Supongo que se trabaja con la norma euclidiana. Tienes razón en que se trata de vectores de longitud n (1 por n o n por 1 según la convención). Así que tenemos por definición de la norma

$f(x)=\frac{||x||^4}{1+||x||^2}=\frac{\sqrt{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+....+x_{n}^{2})}^4}{1+\sqrt{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+....+x_{n}^{2})}^2}= \frac{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+....+x_{n}^{2})^2}{1+(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+....+x_{n}^{2})}$

Sólo reduciendo los exponentes. ¿Puedes seguir desde aquí usando la regla de la cadena?