¿Por qué el cuantificador "finito" no es definible en la lógica de primer orden?

Question

En la lógica de primer orden con identidad (FOL+I), se puede expresar la proposición de que hay exactamente 3 elementos que tienen la propiedad P.

¿Por qué no es posible expresar la proposición de que hay un número finito de elementos que tienen la propiedad P (en FOL+I)?

Answer 1

Cualquier propiedad expresable bajo la lógica de primer orden es cerrada bajo ultraproductos. Sin embargo, la propiedad de los conjuntos finitos no es cerrada bajo ultraproductos.

Answer 2

Bueno, significaría que tienes la declaración $P_1\vee P_2\vee\ldots$ donde $P_i$ significa "hay $i$ objetos con la propiedad $P$ ", y no se permiten disyunciones infinitas. En cuanto a demostrar que esto no es equivalente a cualquier otra cosa que puedas escribir que SÍ esté permitida, no sé cómo hacerlo.

Answer 3

Podemos definir la fórmula $P_i$ que dice que "hay como máximo $i$ elementos que satisfacen $P$ ". Ahora bien, si la disyunción infinita de los $P_i$ fuera definible en FO, implicaría (por compacidad) una conjunción de algún subconjunto finito del $P_i$ por lo que implicaría $P_i$ para algunos $i$ . Eso no es cierto, si $P$ puede tener (digamos) $i+1$ elementos que lo satisfacen.

Answer 4

Creo que se puede expresar "para todos pero finitamente muchos" en FOL, lo que significa "para todos suficientemente grandes". Pero no estoy seguro de si esto es equivalente a "finitamente muchos", parece ser un poco diferente. Véase http://arxiv.org/pdf/math/0602415.pdf .