¿Existe un continuo bijective función de $ \displaystyle f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R − \{1\}$?

Question

Esta es mi primera vez publicando por aquí :)

Mi pregunta es esta: ¿existe un continuo bijective función de $f :\Bbb R → \Bbb R − \{1\}$? Explicar que sí o que no...

Mis pensamientos:

Deje $ \displaystyle f: A \rightarrow B$ ser una función

Está bien que haya un bijective función, para cada uno de los elementos, debe haber un único elemento de la asignación de $A$$B$. A la derecha? Bueno, si ese es el caso, entonces la respuesta a la pregunta es FALSA. Por qué? Debido a que el cadinality del dominio de $A$ (que en este caso es R) es MAYOR que la cardinalidad de la co-dominio, que es ($\Bbb R-\{1\}$).

Porque esto es así, debe haber algunos duplicados, tales que dos elementos diferentes en $A$ mapa para el mismo elemento en $B$.

¿Esto tiene sentido?

Por desgracia, yo sería feliz con esta respuesta, pero otra pregunta que aparece en mi mente. He leído en mi libro de texto que la cardinalidad de a $\Bbb N$ es igual a la cardinalidad de a $\mathbb Z$

Pero, ¿cómo? Desde $\Bbb N$ representa todos los números naturales ($0,1,2,3...$) y $\mathbb Z$ representa a todos los enteros ($...-3,-2,-1,0,1,2,3...$). Claramente la cardinalidad de a $\mathbb Z$ es mayor que N, pero todavía los dos tienen igual cardinalidad.

Así que atar con la pregunta, mi respuesta no le parece correcto ya.

Cualquier guía o ayuda sería muy apreciada!!!

Gracias :)

Answer 1

Las cardinalidades de $\Bbb R$ $\Bbb R\setminus\{1\}$ son en realidad el mismo, aunque parezca que no debería ser. Es claro que $\Bbb R$ es "al menos tan grande" como $\Bbb R\setminus\{1\}$, ya que el primero contiene al segundo. Por otro lado, el mapa de $\Bbb R\to\Bbb R\setminus\{1\}$ $x\mapsto1+e^x$ es un uno-a-uno de la función, por lo $\Bbb R\setminus\{1\}$ es "al menos tan grande" como $\Bbb R$. Así, por este teorema, los dos conjuntos son "el mismo tamaño".

El trampolín aquí es que continua con un valor real de la función en $\Bbb R$ sólo puede tener uno de los siguientes tipos de conjuntos de su gama:

(a) Un singleton $\{y\}$--esto sucede por la constante de funciones.

(b) en el intervalo (semi-abierta, abierta o cerrada).

(c) el rayo (abierto o cerrado).

(d) toda La recta real.

$\Bbb R\setminus\{1\}$ no está de cualquiera de estos tipos de conjuntos, de manera no continua bijection $\Bbb R\to\Bbb R\setminus\{1\}$ existe.

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Alternativamente, podemos utilizar el Teorema del Valor Intermedio, que también puede ser utilizado para probar el "trampolín" que se menciona anteriormente.

Deje $f$ ser cualquier función continua $\Bbb R\to\Bbb R\setminus\{1\}$. Si $f$ toma en al menos un valor mayor que $1$ y al menos un valor de menos de $1$, entonces existen distintos $a,b$ tal que $f(a)<1<f(b)$. Pero desde $f$ es continua en el intervalo $[a,b]$ o $[b,a]$ (lo que tiene sentido), entonces por IVT, habría entonces algunos $c$ estrictamente entre el $a$ $b$ tal que $f(c)=1$, lo cual es imposible, ya que $f:\Bbb R\to\Bbb R\setminus\{1\}$. Así, para cualquier función continua $f:\Bbb R\to\Bbb R\setminus\{1\}$ $f(x)>1$ todos los $x$ o $f(x)<1$ todos los $x$, lo $f$ no es un bijection $\Bbb R\to\Bbb R\setminus\{1\}$. Por lo tanto, no continua bijection $\Bbb R\to\Bbb R\setminus\{1\}$ existe.

Answer 2

No. Debido a $\mathbb R$ está conectado pero $\mathbb R-\{1\}$ no está conectado.

Answer 3

Usted no puede hacer esto por la cardinalidad de los argumentos, ya que $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ tienen la misma cardinalidad. Usted necesita algunas topológico argumento.

La palabra clave es la conectividad. La imagen continua de un conjunto conectado como $\mathbb{R}$ debe estar conectado, a diferencia de $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Por lo que su función puede incluso no ser continua y en.

Aunque se reduce a la misma en $\mathbb{R}$, es ligeramente más fácil considerar la convexidad. Recuperar un conjunto $S$ es convexa en un espacio afín si, para cada $s_1,s_2$$S$, y cada una de las $t\in [0,1]$, el elemento $(1-t)s_1+ts_2$ pertenece a $S$. Es decir, $[s_1,s_2]\subseteq S$ tan pronto como $s_1,s_2$ pertenecen a $S$.

Por el teorema del valor intermedio, la imagen continua de un conjunto convexo en $\mathbb{R}$ es convexa. Ahora $\mathbb{R}$ es convexa, sino $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ no lo es. Así que hay incluso no existe una función continua de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Answer 4

El concepto de cardinalidad no considera ninguna estructura particular impuesta en un conjunto (a pesar de que puede que nos ayudan a contar). En otras palabras, es el extra estructura (tales como operaciones o relaciones de orden) que haya engañado a una errónea afirmación de que $\Bbb{Z}$ tiene más de un elemento de $\Bbb{N}$. Sólo cuando se descuida esta información extraña que usted realmente puede comparar la cardinalidad de los dos conjuntos.

Por ejemplo, vamos a renombrar cada uno de los números enteros de la siguiente manera:

$$ \Bbb{Z} = (0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \cdots) = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_6, \cdots). $$

De esta forma podemos olvidar todo acerca de el tamaño, el orden y la relación aritmética de los elementos de $\Bbb{Z}$. Entonces ahora podemos identificar la función de $n \mapsto a_n$ como un bijection entre el$\Bbb{Z}$$\Bbb{N}$, por lo tanto a la conclusión de que tienen la misma cardinalidad.