La prueba de $\int_{[0,\infty)}pt^{p-1}\mu(\{x:|f(x)|\geq t\})d\mu(t)=\int_{[0,\infty)}\mu(\{x:|f(x)|^p\geq s\})d\mu(s)$

Question

Deje $({\Bbb R},{\mathcal A},\mu)$ ser la medida del espacio donde ${\mu}$ es la medida de Lebesgue. Suponga que $\int_{\Bbb R}|f|^pd\mu<\infty$ ($p\geq1$). Hay un ejercicio para demostrar que

$$\int_{[0,\infty)}pt^{p-1}\mu(\{x:|f(x)|\geq t\})d\mu(t)=\int_{[0,\infty)}\mu(\{x:|f(x)|^p\geq s\})d\mu(s).$$

Si uno formalmente deje $s=t^p$,$ds=pt^{p-1}dt$, y se podría obtener de inmediato la igualdad anterior. Sin embargo, ¿cómo puedo justificar rigurosamente en el sentido de Lebesgue de integración?

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[Editado] Lo que me desconcierta es que tengo el "cambio de variable" teorema de Riemann de la integración, pero todas las integraciones de aquí son en el sentido de Lebesgue. A menos que uno se ha demostrado que la integrands también son Riemann integrables, ¿cómo puedo utilizar directamente "cambio de variable"?

Answer 1

Esto se desprende de un pointwise identidad, a saber, el hecho de que, para todos no negativos $u$, $$ \int_0^{+\infty}pt^{p-1}\mathbf 1_{u\geqslant t}\,\mathrm dt=u^p=\int_0^{+\infty}\mathbf 1_{u^p\geqslant s}\,\mathrm ds. $$ Aplicando esto a cada una de las $u=|f(x)|$ e integrar el resultado con respecto a $\mathrm d\mu(x)$, se obtiene el deseo de identidad, ya que $$ \int_0^{+\infty}pt^{p-1}\mu(\{x:|f(x)|\geqslant t\})\,\mathrm dt = \int|f(x)|^p\,\mathrm d\mu(x) = \int_0^{+\infty}\mu(\{x:|f(x)|^p\geqslant s\})\,\mathrm ds. $$ Edit: El uso de $\mathrm d\mu(t)$ $\mathrm d\mu(s)$ en la pregunta es un poco engañosa, creo. Mientras que $\mu$ $\mu(\{x:|f(x)|\geqslant t\})$ $\mu(\{x:|f(x)|^p\geqslant s\})$ puede ser cualquier medida, $\mathrm d\mu(t)$ $\mathrm d\mu(s)$ realmente debe referirse a la medida de Lebesgue de la identidad de mantener. Por lo tanto, la leve notacional diferencia entre este post y la pregunta.

Answer 2

Permítanme mostrarles esto mediante el cambio de variables de la fórmula dada aquí.

Deje $\lambda$ ser la medida de Lebesgue en $[0,\infty)$. Entonces $$ I=\int_0^\infty\mu(\{x:|f(x)|^p\geq s\})\,\lambda(\mathrm ds)=\int_0^\infty \mu(\{x:|f(x)|\geq s^{1/p}\})\,\lambda(\mathrm ds) $$ Deje $f(t)=\mu(\{x:|f(x)|\geq t\})$ y definen $\varphi(t)=t^{1/p}$$t\geq 0$, porque entonces $$ I=\int_0^\infty (f\circ \varphi)(s)\,\mathrm \lambda(\mathrm ds)=\int_0^\infty f(s) \lambda_\varphi(\mathrm ds), $$ donde $\lambda_\varphi=\lambda\circ \varphi^{-1}$ es la imagen de medida. Ahora, si podemos demostrar que $\lambda_\varphi$ tiene una densidad de $t\mapsto pt^{p-1}$ con respecto al $\lambda$, entonces hemos terminado. Aquí es, por supuesto, suficiente para mirar en los intervalos: Para $a>0$ $$ \lambda_\varphi([0,a))=\lambda(\{t\geq 0:t^{1/p}\leq\})=\lambda([0,^p))=a^p=\int_{[0,a)}pt^{p-1}\,\lambda(\mathrm dt) $$ lo que significa que, de hecho, $$ \frac{\mathrm d\lambda_\varphi}{\mathrm d\lambda}(t)=pt^{p-1},\quad t\geq 0. $$

Answer 3

Principalmente para mi propio beneficio, me gustaría trabajar más detalles aquí. En primer lugar, muestran que para un medible no negativa de la función de $g:\Bbb{R}\to[0,\infty)$, $$ \int_\Bbb{R}g(x)\ d\mu(x)=\int_{[0,\infty)}\mu(\{x\in\Bbb{R}\mid f(x)\geq s\}) \ d\mu(s). $$ Este es un buen ejemplo de las aplicaciones de la Fubini-Tonelli del Teorema.

Deje $\nu:=g_*\mu$ ser el pushforward de $\mu$, es decir, $\nu=\mu\circ g^{-1}$. Entonces $$ \int_\Bbb{R}g(x)\ d\mu(x)=\int_{[0,\infty)}x\ d\nu(x). $$ Tenga en cuenta que $$ \begin{align*} \int_{[0,\infty)}x\ d\nu(x)&=\int_{[0,\infty)}\left(\int_{[0,\infty)}1_{[0,x]}(y)\ d\mu(y)\right)\ d\nu(x)\\ &=\int_{[0,\infty)} \left(\int_{[0,\infty)}1_{[y,\infty]}(x)\ d\nu(x)\right)\ d\mu(y)\\ &=\int_{[0,\infty)} \nu([y,\infty))\ d\mu(y)\\ &=\int_{[0,\infty)} \mu\circ g^{-1}([y,\infty))\ d\mu(y)\\ &=\int_{[0,\infty)}\mu(\{x\in\Bbb{R}\mid g(x)\geq y\}) \ d\mu(y). \end{align*} $$

La sustitución de $g(x)$ $|f(x)|^p$ se puede ver que $$ \int_{[0,\infty)}\mu(\{x\in\Bbb{R}\mid |f(x)|^p\geq s\}) \ d\mu(s)=\int_\Bbb{R}|f(x)|^p \ d\mu(x)<\infty $$ Definir $\phi(s)=s^{1/p}$ y dejar $$ F(t):=\mu(\{x:|f(x)|\geq t\}). $$ Entonces $$ \begin{align*} \int_{[0,\infty)}\mu(\{x:|f(x)|^p\geq s\})d\mu(s)= \int_{[0,\infty)}\mu(\{x:|f(x)|\geq s^{1/p}\})d\mu(s) =\int_XF(\phi(s))\ d\mu(s) \end{align*}$$ donde $X:=(0,\infty)$. Deje $\lambda=\phi_*\mu$. Entonces, por el cambio de las variables de la fórmula, $$ \int_YF(t)\ d\lambda(t)=\int_XF(\phi(s))\ d\mu(s) $$ donde $Y=X=(0,\infty)$. Por lo tanto es suficiente para mostrar que $$ d\lambda(t)=pt^{p-1}d\mu(t). $$

Pero $$ (\phi^{-1}(t))'=pt^{p-1}. $$

Se sigue por el Teorema de 2,47 en Folland del Análisis Real que $$ \lambda(E)=\mu\circ\phi^{-1}(E)=\int_{\phi^{-1}(E)}d\mu(t)=\int_Ept^{-1}d\mu(t). $$