Cómo detectar el derecho de la integración por partes

Question

Yo estaba teniendo problemas para la integración de $$ \int_0^{\pi/2}\sin^{n}\left(x\right)\cos^{2}\left(x\right)\,{\rm d}x $$ and someone pointed out to me that it was a somewhat simple integration by parts. Does anyone have some tips for me to better spot integrations by parts? I feel like I often miss them. Do you just proceed by trial and error, looking for $dv$ and $u$?

Un consejo general que escuché fue en la elección de $u$, el uso de LIATE, es decir, las mejores cosas para hacer de a $u$, en orden, son: 1. Registros 2. Funciones trigonométricas inversas 3. Funciones algebraicas 4. Funciones trigonométricas 5. Exponencial. Pero si usted ya sabe que tiene el uso de la integración por partes, y no ayuda a reconocer.

Alternativamente, si alguien tiene una referencia de buenas prácticas, me encantaría escucharlo. Gracias!

Answer 1

Como con tantas cosas en las Matemáticas, la real identificación de la forma correcta de pensar en algo que en realidad es más un arte que una ciencia (aunque de prueba y error a menudo a llegar allí).

Una buena regla del pulgar con la integración de funciones que son productos de la trigonometría es que, si usted no puede ver una evidente sustitución, trate de integración por partes. El reconocimiento de patrones es también útil durante mucho tiempo - por ejemplo, ¿cómo podría resolver el caso de que $n=0$? $n=1$? $n=2$? Se puede generalizar el enfoque, ya sea para todos los $n$, todo entero $n$, o incluso todas (o impar) integer $n$?

Answer 2

Aquí hay tres situaciones típicas donde usted debe tratar de usar integración por partes.

Desea aplicar integración por partes si

• su integrando tiene un factor que se obtiene de forma más sencilla, la diferenciación y un segundo factor que puede ser fácilmente integrado.

Ejemplos típicos: $\int_{a}^b x^ke^x dx$, $\int_{0}^1 x^a(1-x)^b dx$,

porque los poderes de $x$ desaparecen cuando diferenciadas.

• su integrando tiene un factor que se mantiene la misma o finalmente será el mismo después de la diferenciación y un segundo factor que puede ser fácilmente integrado.

Ejemplo típico: $\int_{a}^{b}e^x\sin x dx$

debido a la integración (o diferenciación) la condición sine dos veces, esencialmente, se le de vuelta la misma función que permite la combinación con el original de la integral de la izquierda.

• su integrando tiene un factor cuyos derivados se cancela o se combinan con todos o parte de el resto de el integrando, y un segundo factor que puede ser fácilmente integrado

Ejemplos típicos: $\int_{a}^b x\ln x dx$, $\int_{0}^{\frac{\pi}2}(\sin x)^n dx$.

debido a que la derivada del logaritmo va a cancelar con la $x$ y darle un trivial integral. (Tenga en cuenta especialmente que no se derivan de la $x$ menos que usted ya sabe la integral del logaritmo de algún otro lugar.) y debido a que la derivada de una potencia de seno se combina con la derivada de seno dar de nuevo sólo las integrales de potencias del seno.

Tenga en cuenta que su ejemplo es de la tercera clase, que es la más difícil de detectar porque usted tiene que saber las identidades de sus funciones para determinar que cancelar/combinar con prudencia. Sin embargo, no hay muchos ejemplos en los que uno se encuentra con regularidad, así que después de un poco de práctica, usted acaba de conocer situaciones típicas.

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{{\cal I}_{n} \equiv \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\pars{x}\cos^{2}\pars{x}\,\dd x}$

\begin{align} {\cal I}_{n} &= {1 \over n + 1}\int_{x\ =\ 0}^{x\ =\ \pi/2}\cos\pars{x} \,\dd\bracks{\sin^{n + 1}\pars{x}} = -\,{1 \over n+ 1}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n + 1}\pars{x}\bracks{-\sin\pars{x}}\,\dd x \\[3mm]&={1 \over n+ 1}\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n}\pars{x}\bracks{1 -\cos^{2}\pars{x}}\,\dd x ={1 \over n+ 1}\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n}\pars{x}\,\dd x - {1 \over n + 1}\,{\cal I}_{n} \end{align}

\begin{align} {\cal I}_{n}&={1 \over n + 2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\pars{x}\,\dd x ={n \over n + 2}\bracks{{1 \over n}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n - 2}\pars{x}\,\dd x} - {1 \over n + 2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n - 2}\pars{x}\cos^{2}\pars{x}\,\dd x \\[3mm]&= {n \over n + 2}\,{\cal I}_{n - 2} - {1 \over n + 2}\,{\cal I}_{n - 2} = {n - 1 \over n + 2}\,{\cal I}_{n - 2} \end{align}

$$\color{#0000ff}{\large% {\cal I}_{n} = \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\pars{x}\cos^{2}\pars{x} \,\dd x = {n - 1 \sobre n + 2}\,{\cal I}_{n - 2}\,,\quad n \geq 2\,,\qquad \left\vert% \begin{array}{rcl} {\cal I}_{0} & = & {\pi \over 4} \\[2mm] {\cal I}_{1} & = & {1 \over 3} \end{array}\right.} $$