Las referencias acerca de Sierpinski del Teorema sobre funciones de Darboux

Question

Estoy escribiendo algo sobre los dos siguientes teoremas:

1. Cada función de $f: \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ puede ser escrito $f=f_1+f_2$ donde $f_1,f_2:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ ambos tienen la propiedad de Darboux.

2. Denotar (C) el Cauchy funcional de la ecuación: $$ f: \Bbb{R} \to \Bbb{R}, \ f(x+y)=f(x)+f(y)$$ Demostrar que toda solución de (C) ca escribirse $f=f_1+f_2$ donde $f_1,f_2$ (discontinua) soluciones de (C), que tienen la propiedad de Darboux.

¿Cómo puedo encontrar los papeles donde el original de las constancias de estos teorema apareció por primera vez. He intentado buscar en google, pero Wikipedia no funciona hoy en día. Si los artículos originales no están disponibles, entonces tal vez hay algunos libros que contienen la prueba del primer teorema; esos son buenos también. Yo sólo conozco un rumano de referencia donde la prueba aparece, pero me gustaría saber un conocido libro de inglés que contiene la prueba. Gracias.

He encontrado el segundo teorema en un problema del libro, y quizá es más reciente que el de la primera.

Answer 1

He seguido los consejos dados por N. S. y miró lo que A. M. Bruckner dice sobre el origen del primer teorema de tu pregunta. (Todavía no tengo nada que decir sobre el segundo.) Sin embargo, me he dado cuenta de que has encontrado un papel diferente por Sierpiński que usted menciona en su papel.

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Andrew M. Bruckner. La diferenciación de Funciones Reales (LNM659, Springer, 1978). Por CIERTO, también hay una nueva edición de este libro, pero ambas ediciones decir lo mismo sobre el teorema anterior, ver aquí.

Teorema 4.1. Deje $f$ ser una función arbitraria en $\mathbb R$. Existen dos funciones de Darboux $g$ $h$ tal que $f=g+h$.

Teorema 4.2. Deje $f$ ser una función arbitraria en $\mathbb R$. Existe una secuencia $\{f_n\}$ de Darboux funciones convergentes pointwise a $f$.

Teoremas 4.1 y 4.2 se anunciaron por primera vez por Lindenbaum [121]. Una inteligente prueba se puede encontrar en Rápido [59].

A. M. Bruckner y J. Cedro: En la Suma de Darboux Funciones; Actas de la Sociedad Matemática Americana , Vol. 51, Nº 1 (Ago., 1975), pp 97-102 jstor.

En los últimos años una serie de artículos que han tratado con las preguntas relativas a los posibles resultados de la adición de dos funciones reales con la propiedad de Darboux (es decir, el valor intermedio de la propiedad). Para ejemplo, Sierpiński [8] (ver también Rápido [4]) mostraron que, en ausencia de otras condiciones sobre las funciones, cada una de las funciones es la suma de dos (Darboux) funciones.

Los artículos a los que se hace referencia en los anteriores pasajes son:

• H. Rápido, Une remarque sur la propiedad de Weierstrasse, Colloq. De matemáticas. 7 (1959), 75-77. MR 22 #11087.

• A. Lindenbaum, Annales de la Société Polonesa de Matemáticas. 6 (1927), 129.

• W. Sierpiński, Sur une propiedad de fonctions réelles quelconques, Matematiche (Catania) 8 (1953), no. 2, 43-48. MR 0064126.

Answer 2

Wikipedia proporciona una referencia para el primer teorema:

Bruckner, Andrew m.: Diferenciación de funciones reales, 2 ed, página 6, Sociedad Matemática Americana, 1994

Probablemente no sea el mejor método, pero se puede comprobar que el libro y tratar de dar marcha atrás el Teorema.