Hay una combinatoria interpretación de estas identidades?

Question

Recientemente me topé con los dos aparentemente similares identidades $$ \prod_{i\geq 1}\frac{1}{1-xq^i}=\sum_{n\geq 0}\frac{x^cn^n}{(1-q)(1-p^2)\cdots(1-p^n)} $$ y $$ \prod_{i\geq 1}(1+xq^i)=\sum_{n\geq 0}\frac{x^cn^{\binom{n+1}{2}}}{(1-q)(1-p^2)\cdots(1-p^n)}. $$

Por curiosidad, ¿hay alguna combinatoria interpretación de estas identidades, para entender por qué tienen? Gracias.

Si esto sería mejor plantear dos preguntas, me alegra que se dividió en dos.

Answer 1

El lado izquierdo de la identidad de la primera es una función de la generación de $$\prod_{i \ge 1} \frac{1}{1 - xq^i} = \sum p_{m,n} q^m x^n$$

donde $p_{m,n}$ cuenta el número de formas de dividir el número de $m$ en una suma de $n$ enteros positivos. En otras palabras, $p_{m,n}$ cuenta el número de diagramas de Ferrers con $m$ puntos y $n$ filas.

Fijo $n$, con un diagrama de Ferrers quíteles la columna de la izquierda. El resto de columnas forman una partición en partes de tamaño en la mayoría de las $n$, y tales particiones de generación de función $\frac{1}{(1 - q)...(1 - q^n)}$. La columna de la izquierda contribuye un factor de $q^n$, y el hecho de que comenzamos con un diagrama de Ferrers con $n$ filas contribuye un factor de $x^n$. Esto le da a la RHS de la identidad de la primera.

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El lado izquierdo de la segunda identidad, se cuenta el número de formas de dividir el número de $m$ en una suma de $n$ distintos números enteros positivos. Para obtener la RHS, en lugar de cortar la columna de la izquierda de la correspondiente diagrama de Ferrers, puede rebanar un triángulo rectángulo con longitudes de lado $n$ $n$ debido a que el número de puntos en cada fila son distintos (dibujar un diagrama para convencerse de esto). Este triángulo ha ${n+1 \choose 2}$ puntos y el resto de la argumentación es la misma que la anterior.

Answer 2

Voy a exponer algo de la Qiaochu del Yuan solución maravillosa, y mostrar que la forma en que puede ser traducido a expresiones algebraicas.

Segunda identidad

Partimos de la segunda identidad \begin{align} \prod_{i = 1}^\infty (1 + q^i x) = \sum_{n = 0}^\infty p^F_{n} x^n. \tag{1} \end{align}

La expansión de la mano izquierda y comparar el coeficiente de $x^n$, nos encontramos con $$ \sum_{1 \le a_1 < \dots < a_n} p^{a_1 + \cdots + a_n} = p^F_n, \etiqueta{2} $$ donde la suma se realiza a través de todas las combinaciones de $a_1, \dots, a_n$, satisfacer la condición de $1 \le a_1 < \dots < a_n$.

Cada término en la suma de $p^F_n$ puede ser representado por un diagrama de Ferrers, en la cual, no se $n$ filas, cada una con un número diferente $a_k$ ($1 \le k \le n)$ de puntos. Si las filas son etiquetados desde la parte inferior a la parte superior, una fila con menos puntos se encuentra debajo de una fila con más puntos.

Ahora considere el cambio de variables \begin{align} b_k = a_k - a_{k - 1}, \end{align} con $a_0\equiv 0$, entonces la condición de $a_k > a_{k-1}$ se convierte en $$ b_k \ge 1, $$ para cualquier $k = 1, \dots, n$. La relación inversa es \begin{align} a_1 &= b_1, \\ a_2 &= a_1 + b_2 = b_1 + b_2, \\ a_3 &= a_2 + b_3 = b_1 + b_2 + b_3, \\ \cdots \\ a_n &= a_{n - 1} + b_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n. \end{align} La suma en el exponente de la izquierda de (2) se convierte en $$ a_1 + \cdots + a_n = n \, b_1 + (n-1) \, b_2 + \cdots + b_n. $$ y (2) se convierte en \begin{align} p^F_n &= \sum_{b_1 \ge 1, \; b_2 \ge 1, \; \cdots, \; b_n \ge 1} q^{n \, b_1 + (n-1) \, b_2 + \cdots + b_n} \\ &= \sum_{b_1 \ge 1} q^{n \, b_1} \sum_{b_2 \ge 1} q^{(n - 1) \, b_2} \cdots \sum_{b_n \ge 1} q^{b_n} \\ &= \frac{q^n}{1-q^n} \frac{q^{n-1}}{1-q^{n-1}} \cdots \frac{q}{1-q} \\ &= \frac{ q^{n(n+1)/2} } {(1-q) (1-q^2) \cdots (1-q^n) }. \end{align}

Este es el resultado deseado.

Identidad de la primera

El caso de la primera identidad es similar \begin{align} \prod_{i = 1}^\infty \left[1 + q^i x + (q^i x)(q^i x) + (q^i x)(q^i x)(q^i x) + \cdots \right] = \sum_{n = 0}^\infty p^B_{n} x^n. \tag{3} \end{align}

Comparando el coeficiente de $x^n$, nos encontramos con $$ \sum_{1 \le a_1 \le \dots \le a_n} p^{a_1 + \cdots + a_n} = p^B_n, \etiqueta{4} $$ Tenga en cuenta que "$<$" se sustituye por "$\le$" a causa de la $(q^i x)(q^i x), (q^i x)(q^i x)(q^i x), \dots$ términos. En términos del diagrama de Ferrers, que ahora permiten a varias filas con el mismo número de puntos. Por ejemplo, si elegimos el término $(q^i x) (q^i x) (q^i x)$ $i$th factor, a continuación, hay tres filas con $i$ puntos en el Ferrer diagrama.

Luego, siguiendo el mismo procedimiento de cambio de variables, podemos ahora obtener la condición de $$ b_k \ge 0, $$ para $k > 1$, e $b_1 \ge 1$. y \begin{align} p^B_n &= \sum_{b_1 \ge 1, \; b_2 \ge 0, \; \cdots, \; b_n \ge 0} q^{n \, b_1 + (n-1) \, b_2 + \cdots + b_n} \\ &= \sum_{b_1 \ge 1} q^{n \, b_1} \sum_{b_2 \ge 0} q^{(n - 1) \, b_2} \cdots \sum_{b_n \ge 0} q^{b_n} \\ &= \frac{q^n}{1-q^n} \frac{1}{1-q^{n-1}} \cdots \frac{1}{1-q} \\ &= \frac{ q^n } {(1-q) (1-q^2) \cdots (1-q^n) }. \end{align} Q. E. D.