Cómo demostrar a $\exp(\ln M)=M$

Question

Dado un $n\times n$ real (complejo) de la matriz $A$. Permítanme definir:

$$\exp A=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}$$

y

$$\ln A=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(A-I)^n}{n}$$

Vamos a suponer que el $2$ por encima de la serie converge para $A=M$. Cómo puedo probar que:

$$\exp(\ln M)=M$$

Answer 1

Es más sencillo para las matrices con todos los autovalores distintos. Si $v$ es un autovector de a $M$ para el autovalor $\lambda$, $(\ln M) v = \sum_n (-1)^{n+1} \dfrac{(\lambda - 1)^n}{n} v$ converge, y lo que converge a debe ser $\ln(\lambda) v$ (hay un punto sutil aquí acerca de la convergencia de potencia de la serie en la frontera del disco de convergencia: ver Abel del teorema). Por lo tanto $v$ también es un autovector de a $\ln M$ para el autovalor $\ln \lambda$. A continuación,$\exp(\ln M) v = \exp(\ln \lambda) v = \lambda v = M v$. Los vectores propios que forman una base, llegamos a la conclusión de que $\exp(\ln M) = M$.

En el caso más general, se puede intentar el uso de la forma canónica de Jordan, pero creo que es complicado. Como alternativa, utilice el hecho de que las matrices con distintos autovalores forma un denso conjunto.

Answer 2

El tratamiento de la $\exp(x)$ $\ln(1+x)$ como poder formal de la serie, ya que $\ln(1+x)$ no tiene término constante, uno puede componer estos para obtener el poder formal de la serie de $\exp(\ln(1+x))$. Serie de $\exp(x)$ $\ln(1+x)$ tienen distinto de cero radio de convergencia, por lo tanto, $\exp(\ln(1+x))$ tiene un valor distinto de cero radio de convergencia.

Por otra parte, sabemos que el $\exp(\ln(1+x)) = 1+x$ si los tratamos como funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$. Por tanto, el poder de la serie para $\exp(\ln(1+x))$ es sólo $1+x$.

Lo que sigue es que el $\exp(\ln(1+A)) = 1 + A$ para todas las matrices $A$ en algunos barrios de la matriz cero (es decir, en una bola de radio $r$, que es menor que el radio de convergencia de $\ln(1+x)$ y el radio de convergencia de $\exp(\ln(1+x))$).

Este argumento se sostiene para las matrices así como cualquier otro álgebras de Banach.