De Cauchy-Schwarz para métricas con diferentes firmas

Question

Cuando la norma de un vector es siempre mayor o igual a cero, la de Cauchy-Schwarz desigualdad se mantiene, pero lo que si nos fijamos en una métrica con una arbitraria de la firma? A continuación, el producto interior de un vector con la misma podría ser negativo. Es allí cualquier Cauchy-Schwarz desigualdad arbitraria métrica? Sospecho que sería algo parecido a esto:

$$g_{ij}^2\leq |g_{ii}g_{jj}|,$$

pero no estoy seguro de si ese es el caso necesariamente (por no hablar de cómo ir sobre la prueba). Aquí, $g$ es la representación de la matriz del tensor métrico.

Answer 1

Tomemos, por ejemplo, la siguiente hiperbólico producto escalar en $\mathbb{C}^2$:

$$[x, y] = y^* J x, \quad J = \mathop{\rm diag}(1,-1),$$

y vamos a

$$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}.$$

Entonces

$$[x,x] = [y,y] = 0, \quad \text{but} \quad [x,y] = [y,x] = 2,$$

así que no creo que usted puede hacer una de Cauchy–Schwarz-como la desigualdad.

Más generalmente, si usted tiene un producto inducida por una nonsingular indefinido $J$, siempre se puede encontrar $x,y$ tal que $[x,x] = [y,y]$ (lo que significa que $x$ $y$ son degenerados), sino $[x,y] = [y,x] \ne 0$. Esto debería ser bastante fácil de demostrar.