La función de la satisfacción de $x = f(f(x))$ $x \not= f(x)$

Question

Hay una función que satisfaga las siguientes condiciones?:

$\forall x \in X, x = f(f(x))$ $x \not= f(x)$,

donde la $X$ es el conjunto de todos los trillizos $(x_1,x_2,x_3)$$x_i \in \{0,1,\ldots,255\}$.

Me gustaría encontrar una función que tiene como entrada los valores de color RGB (trillizos) y devolver el color original después de dos aplicaciones de la función.

Answer 1

$f(x_1,x_2,x_3)=(255−x_1,255−x_2,255−x_3)$ debe hacer el trabajo.

Answer 2

Si prefiere que el gran cambio de color, que más bien debe tomar $$f(x,y,z)= (x+128 \bmod 256,y+128 \bmod 256,z+128 \bmod 256).$$

Answer 3

Si usted está haciendo estos cálculos en una computadora y puede conseguir lejos de insistir en la interpretación de $x_1$, $x_2$, $x_3$ como los números enteros en el rango $[0,255]$, considere la posibilidad de pensar de $x_1$, $x_2$, $x_3$ como de ocho bits bytes o vectores de longitud $8$ $\mathbb F_2$ a ser un poco más formal. Entonces, para cualquiera de las tres bytes $a$, $b$, $c$ con al menos uno distinto de cero, $$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1\oplus a, x_2\oplus b, x_3\oplus c)$$ tiene las propiedades deseadas que $$\begin{align*} f(f(x_1, x_2, x_3)) &= f(x_1\oplus a, x_2\oplus b, x_3\oplus c)\\ &= (x_1\oplus a\oplus a, x_2\oplus b\oplus b, x_3\oplus c \oplus c)\\ &= (x_1, x_2, x_3), \end{align*}$$ y $(x_1, x_2, x_3) \neq f(x_1, x_2, x_3)$. Como un bono adicional (no necesariamente importante de matemáticas.SE de los lectores), la operación XOR en bytes es un máquina-enseñanza de idioma en la mayoría de los equipos y en algunos casos puede ser más rápido que la instrucción ADD que a menudo se define por completo (de varios bytes) sólo palabras.

Tenga en cuenta que $f(x_1,x_2,x_3)=(255−x_1,255−x_2,255−x_3)$ como se sugiere por @ofer es justo $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1, \oplus \mathbf 1, x_2\oplus \mathbf 1, x_3\oplus \mathbf 1)$ donde $\mathbf 1 = (1,1,1,1,1,1,1,1)$ es el de ocho bits de todos aquellos byte.

Answer 4

$$f(x) = 5-x$$

$$f(x) = \frac{16}{x}$$

Hay montones, montones, fanegas, camiones, imponderables multitudes, de funciones como esta. Se podría llenar un insondable abismo hasta aquí con ellos.

Se llaman "involuciones".

(Excepto, técnicamente, los que satisfacer $f(x)=x$ también son involuciones.)