Pruebas que cada número natural es suma de cuatro cuadrados.

Question

Estoy planeando escribir una pequeña nota que detalla varias pruebas del teorema de Lagrange que cada número natural puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados perfectos. Sé hasta ahora de tres pruebas diferentes:

• una prueba completamente elemental por descendencia.
• una prueba vía Teorema de Minkowski y enrejados.
• Prueba de Jacobi mediante formas modulares.

¿Nadie puede pensar en alguna pruebas más agradables, relativamente elementales de este resultado? Gracias de antemano.

Answer 1

Uno puede fácilmente deducir el teorema de los cuatro cuadrados de Gauss-Legendre de tres plazas teorema. El último es, en realidad, menos elemental, pero hay una muy buena prueba de uso de Hasse-Minkowski y la Aubry-Davenport-Cassels Lema.

Este es el enfoque adoptado en Serre es Un Curso de Aritmética, Apéndice para el Capítulo IV. Cuadráticas formas que satisfacen la conclusión de la Aubry-Davenport-Cassels Lema (ADC formas) han sido un tema de investigación reciente de la mía, así que es justo decir que actualmente este es mi favorito de la prueba.

Tenga en cuenta que el quaternionic prueba de Chris de la Tarjeta de respuesta (que también es muy importante) puede ser entendido y, sin duda, ha aclarado en estos términos. La suma de cuatro cuadrados de la forma por sí mismo no satisface las hipótesis del ADC Lema. Esto está relacionado con el hecho de que la norma es la forma de la nonmaximal orden de $\mathbb{Z}[i,j,k]$ en el de Hamilton, el álgebra de cuaterniones $H = \left(\frac{-1,-1}{\mathbb{Q}} \right)$. Una máxima de la orden que contiene es de $\mathbb{Z}[i,j,k,\frac{1+i+j+k}{2}]$. La norma en este orden es la forma cuadrática

$q = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + xw + yw + zw$.

Este formulario no satisfacen la hipótesis de la ADC Lema (es Euclídea en mi terminología), por lo que se deduce inmediatamente de Hasse-Minkowski que es universal, es decir, representa todos los enteros positivos. Además de la forma $q$ es lo suficientemente de cerca relativa a la suma de cuatro cuadrados de la forma en que un poco de primaria trasteo muestra que la suma de cuatro cuadrados de la forma es universal así. Para otros ejemplos de este fenómeno, véase el reciente preprint de R. W. Fitzgerald , así como algunos trabajos de J. I. Deutsch que se citan allí.

(Si te atreves, puedes echar un vistazo a mi magnum opus en Euclidiana formas y ADC formas. Caveat emptor: más que estar sin pulir, hay algunos unsanded esquinas aquí.)

Answer 2

Hay una prueba en Herstein usando cuaterniones.

[Ver también robusto y de Wright Introducción a la teoría de números. --PLC.]

Answer 3

Tal vez el más hermoso solución es por medio de Aubry del lema - que emplea a un geométricas variante del algoritmo de Euclides para activar un racional represention en un integrante de la representación. Esta es la misma técnica que conduce a la reflexión de la generación de ternas Pitagóricas primitivas y los asociados ternario de la estructura de árbol. Aubry los resultados son, de hecho, en casos muy especiales, de los resultados generales de la Pared, Vinberg, Scharlau et al. en reflectantes celosías, es decir, la aritmética de los grupos de isometrías generado por los reflejos en hyperplanes. Generalmente reflexiones generar el ortogonal grupo de Lorenz cuadráticas formas en dim < 10. Ver a mis MO post aquí para más información y referencias.

En mi opinión, los resultados en esta área son algunos de los más hermosos resultados en la escuela primaria de la teoría de números. Curiosamente, para toda esta belleza que parecen ser poco conocido. Por ejemplo, hace una década, cuando he mencionado a John Conway la conexión entre Aubry del trabajo y Cassels y Pfister él no era consciente de ello (R. K. Tipo me dijo que la presentación de la PPT ternario árbol en su Libro de los Números (1996) está basado en una conferencia escuchó por un estudiante, Richard Vogeler, en una MAA sección en la Brigham Young Univ. en 89-04-07.) También Pfister al parecer no era consciente de Aubry del trabajo cuando él generalizada Cassels resultado arbitraria de las formas cuadráticas, fundador de la moderna teoría algebraica de la formas cuadráticas ("Pfister formas"). Algún día espero escribir algo sobre la extraña historia de este hermoso círculo de ideas así que agradecería saber de alguien que pueda saber más detalles.

Answer 4

Aquí está uno para agregar a su lista por Andrews, Ekhad y Zeilberger. Una prueba corta de la fórmula de Jacobi para el número de representaciones de un número entero como la suma de cuatro cuadrados.