Interesante GRE problema

Question

He encontrado esto en una práctica GRE problema. Pensé que iba a tener una grieta en ella después de ser echado a perder por la respuesta

En cuántos puntos en el plano xy hacer los gráficos de $y = x^{12}$ $y = 2^x$ se cruzan?

Así que he pensado en hacer algo de lo que la mayoría de la gente habría hecho, los problemas en la intersección, $x^{12} = 2^x$, se convirtió en totalmente sin esperanza.

Entonces pensé acerca de cómo utilizar el Teorema del Valor Intermedio, que es

$f=x^{12} - 2^x = 0$

Sospecho que para $x<0$, $x^{12} > 2^x$, por lo $f>0$

Para $x=0$, $f < 0$. Así que por IVT, hay una raíz en algún lugar entre el $(-\infty,0)$

Para $x>0$, $x^{12} > 2^x$, por lo $f>0$. Así que por IVT, hay otra raíz en $(0,\infty)$

Así que contar, yo debería obtener 2 raíces, el otro por lo tanto 2 puntos. Pero la respuesta real fue de 3. Así que me inclino a creer que pasé por alto algo muy importante

Nota: El GRE prohíbe la tecnología de asistencia.

Answer 1

$x^{12} = 2^x$ ($x$ real) es equivalente a: o $x = 2^{x/12}$ o $-x = 2^{x/12}$. Desde $2^{x/12}$ es convexa, su gráfica se cruza una línea recta en $0$, $1$ o $2$ puntos.

$-x$ está disminuyendo mientras que $2^{x/12}$ está aumentando, y $-x > 1 > 2^{x/12}$ $x < -1$ mientras $-x < 2^{x/12}$$x > 0$, por lo que no es exactamente una solución real de $-x = 2^{x/12}$ y está en el intervalo de $-1 \le x \le 0$.

$x < 0 < 2^{x/12}$ $x < 0$, $x < 2^{x/12}$ por lo suficientemente grande $x$, mientras que$x > 2^{x/12}$$x=2$, por lo que hay dos soluciones reales de $x = 2^{x/12}$, uno con $0 < x < 2$ y una en $2 < x < \infty$.

Answer 2

Sospecho que para $x<0$, $x^{12} > 2^x$, por lo $f>0$

Obviamente falsos negativos $x$ cerca de 0.

Para $x>0$, $x^{12} > 2^x$

Obviamente falso para grandes positivo $x$.

Pero realmente, todo lo que tienes que hacer es dibujar un gráfico. Desaparece y sacar uno, y luego volver y contarnos acerca de ella :-)

Answer 3

Pensé que de esta manera, cerca del origen, $2^x$ es relativamente plana, mientras que $x^{12}$ puntos muy por encima. Esto le da dos puntos de intersección. Pero, finalmente, exponenciales superan cualquier polinomio, por lo que debe haber otro punto de intersección donde se $2^x$ pasa $x^{12}$.

En realidad, no creo que de la tercera raíz en el tiempo y poner 2 como mi respuesta en el examen de práctica. Pero bueno, sólo el 12 por ciento de las personas que rinden el examen hacerlo bien!

Answer 4

Lo primero a observar es que tanto las funciones son continuas y los gráficos son "suave" en las curvas.

Hay uno y sólo un punto de intersección en $(- \infty, 0)$ $x^{12}$ es el aumento de & $2^x$ está disminuyendo como $x \rightarrow- \infty$$2^0 > 0^{12}$.

Ahora observe que cuando se $x \rightarrow \infty, $ tanto de las funciones de aumento y $2^x $ domina $x^{12}$ eventualmente. Desde $ 2^{12} > 2^2 $, debe ser el caso que las gráficas se cortan en algún punto en $(2, \infty)$. Este es el único punto de intersección en ese intervalo.

También, $2^0 > 0^{12}$ $2^{12} > 2^2 $ nos dice que hay un punto de intersección en $(0,2)$ y no es exactamente un ejemplo de intersección.

Así que en total hay exactamente 3 puntos de intersección.