La prueba de que X está conectado si cada función continua en X tiene un punto fijo

Question

Acabo de llegar de un examen y me pregunto cómo probar lo siguiente:

Un espacio topológico $X$ está conectado si para cada función continua $f:X\rightarrow X$ no es un porcentaje ($x \in X$tal que $f(x)=x$.

Answer 1

Vamos a mostrar que el contrapositivo sostiene. Si $X$ no está conectado, a continuación, $X=U\cup V$ para algunos abiertos disjuntos no vacía de subconjuntos de a$U$$V$. Pick $u$$U$$v$$V$. Puede usted pensar en una función continua $f:X\to X$ $u$ $v$ que $f(x)\ne x$ por cada $x$$X$?

Una forma de garantizar esta condición sería que $f(x)\in V$ por cada $x$ $U$ y $f(x)\in U$ por cada $x$$V$. Pero recuerde, $f$ debe ser continua... Última sugerencia: se puede hacer esto con $f(X)=\{u,v\}$.

Ejercicio: Encontrar algunos conectada $X$ y algunos continua $f:X\to X$ sin punto fijo (por lo tanto la implicación inversa no se sostiene).