La existencia de una función continua que no alcanza un máximo.

Question

Supongamos $X$ es un no-espacio métrico compacto. Mostrar que existe una función continua $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f$ no alcanzar un máximo.

He demostrado esta afirmación de la siguiente manera:

Si $X$ no es compacto, existe una secuencia que no tiene convergentes larga. Por lo tanto, el conjunto de $E$ de los elementos de esta secuencia es infinito y no tiene límite de puntos. Por lo tanto, en la inducida por la topología, $E$ es una contables espacio discreto. Deje $e_n$ ser una enumeración de $E$. Definir $f: E \rightarrow \mathbb{R}$$f(e_n)=n$. Desde $E$ es discreto, $f$ es continua. Por Tietze (tenga en cuenta que $E$ es cerrado en $X$), existe una función continua $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ que se extiende $f$. Pero $f$ es ilimitado, entonces también lo es $g$, e $g$ no alcanzar un máximo. $\square$

Mi primera pregunta es: lo Es todo en la prueba de multa?

Ahora, mi segunda pregunta es: ¿me Pueden brindar una prueba que es más elemental? (No uso de Tietze, por ejemplo. Este ejercicio es justo después de la definición de compacidad. Supongo que esta prueba no es lo que era la intención.)

Y mi tercera pregunta es: ¿la propuesta de celebrar arbitrarias de espacios topológicos? Si no, se puede proporcionar un contra-ejemplo?

Answer 1

Su argumento es correcto y es probablemente el más sencillo. El resultado no mantener en todas las $T_3$ espacios: en esta respuesta doy un método general, debido a Eric van Douwen, para iniciar con un $T_3$ el espacio de dos puntos que no pueden ser separados por un continuo valor real de la función y la producción de un $T_3$ espacio en el que todos los continuo con un valor real de las funciones son constantes. La otra respuesta a esa pregunta da referencias a dos $T_3$ espacios de tener dos puntos que no pueden ser separados por un continuo valor real de la función, y esta respuesta se expande en uno de esos espacios y te da otro ejemplo de este tipo de espacio.

Answer 2

La prueba parece bien, pero de Tietze debe tener la función continua en un subconjunto cerrado, pero como no tiene límite de puntos esto es dado. Si su función debe ser continua en lo que puedo decirte la tercera cuestión a tener una respuesta negativa.

De hecho hay un no compacto Hausdorff espacio tal que las funciones continuas son exactamente constante. Tome $\mathbb{Z}^+$ con la relativamente primer entero topología, aquí es el caso de que para cada abierto no vacío conjuntos de $U,V$ la intersección $\overline{U}\cap \overline{V}\neq \varnothing$ por lo tanto cada función continua a $\mathbb{R}$ debe ser constante y por lo que seguramente alcanza un Máximo. A ver no es compacto es un poco más difícil, aquí se utiliza que si es compacto necesita ser $T_3$ $T_4$ (como es Hausdorff), pero con $T_4$ tendríamos Urysohn-Lema que le otorga la más continuo de las asignaciones.