$A+A^2B+B=0$ implica $A^2+I$ invertible?

Question

Deje $A$ $B$ dos matrices cuadradas sobre un campo tal que $A+A^2B+B=0$. Es cierto que $A^2+I$ siempre es invertible ?

Answer 1

Tenemos $A+(A^2+I)B=0$. Multiplicamos por $A$:

$$A^2+(A^2+I)BA=0$$

Añadimos $I$:

$$I+A^{2}+(A^2+I)BA=I=(A^2+I)(I+BA)$$ Por lo tanto $A^2+I$ es invertible, y su inversa es $I+BA$.

Answer 2

Tomando la transpuesta, esto es equivalente a preguntar si $A + BA^2 + B = 0$ implica $A^2+I$ invertible. $(A^2+I)v = 0$ para algunos vector. A continuación,$0 = (A + BA^2 + B) v = Av + B(A^2+I)v = Av$, por lo $v = (A^2+I)v = 0$. Por lo tanto, $A^2+I$ ha trivial núcleo y es invertible.

Answer 3

${\bf Hint}\ \ 1\!+\!aa\mid \color{#c00}a\,\Rightarrow\, 1\!+\!aa \mid 1 = 1\!+\!aa-\color{#c00}aa,\ $ por ejemplo, aplicando esto al caso especial en la mano:

$\quad\ \ \color{#0a0}{{-}(1\!+\!aa)b} = \color{#c00}{a},\ $ por lo tanto $\ 1 = 1\!+\!aa-\color{#c00}{a}a = 1\!+\!aa\color{#0a0}{+(1\!+\!aa)b}a=(1\!+\!aa)(1\!+\!ba)$

Comentario $\ $ Esencialmente explotar la universalidad de la identidad de Bezout $\,1\!+\!aa-\color{#c00}aa = 1.$