Acerca de las funciones periódicas

Question

¿Podría alguien dar alguna idea sobre el siguiente problema? Muchas gracias

Supongamos que $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ son dos funciones periódicas tales que $\lim_{x\to\infty}[f(x)-g(x)]=0$. Demuestra que $f(x)=g(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

Answer 1

Pista: Supongamos que $f(x_0)\neq g(x_0)$ para algún $x_0\in\mathbb{R}$ y sea $d=f(x_0)-g(x_0)>0$. Dado que $f$ y $g$ son periódicas, ¿puedes llegar a una contradicción de la suposición de que $\lim_{x\to\infty}|f(x)-g(x)|=0$?

Answer 2

Supongamos que $\exists\ x\ \ni\ {\rm f}\left(x\right) - {\rm g}\left(x\right) = s \not=0$. Dado $0 < \epsilon < \left\vert s\right\vert$ y dado $\underline{cualquier}$ $N$, siempre podemos encontrar un ( T: periodo ) $\tilde{x} \equiv x + nT > N\ \ni\ \left\vert{\rm f}\left(\tilde{x}\right) - {\rm g}\left(\tilde{x}\right)\right\vert = \left\vert s\right\vert > \epsilon.

Eso significa que $\lim_{x \to \infty} \left[{\rm f}\left(\tilde{x}\right) - {\rm g}\left(\tilde{x}\right)\right] = 0$ no es cierto. Entonces, no hay ningún $x$ que cumpla la condición mencionada anteriormente.