el anillo de doble números sobre un campo $k$

Question

Supongamos $k$ es un campo,entonces el cociente del anillo de $k[\epsilon]/\epsilon^2$ es llamado el anillo de doble de los números de más de $k$. Aprendí esto de Hartshorne. Me pregunto por qué tiene este nombre(tal vez esta pregunta es un poco suave,o sin sentido). Hay cosas interesantes acerca de este anillo?Podría alguien ser tan amable de decir algo al respecto?Muchas gracias!

Answer 1

Así, un hecho interesante acerca de la doble número de $\mathbb{R}$: considere la posibilidad de su polinomio anillo, y, específicamente, identificar un objeto $f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i , a_i \in \mathbb{R}[\epsilon]/\epsilon^2$. Ahora evaluando $f(a + b\epsilon), a,b \in \mathbb{R}$ rendimiento $f(a) + bf'(a)\epsilon$ (sugerencia: teorema del binomio), lo que permite automático de diferenciación y un enfoque interesante para los no-estándar de análisis.

Trabajo en una más general $k[\epsilon]/\epsilon^2$, ya que el $(a + b\epsilon)(a^{-1} - ba^{-2}\epsilon) = 1,$ vemos que para todo distinto de cero $a$, $a + b\epsilon$ es una unidad. Así que nuestro anillo de doble de los números de más de $k$ tiene un único ideal maximal $(\epsilon)$ y el anillo es local.

En una nota más relacionados con el Hartshorne: vamos a $f: X \rightarrow S$ ser una de morfismos de esquemas. Usando el anillo de dos números, uno puede construir la punta de espacio de la tangente de $X$$S$, pero estoy en ninguna manera cualificada para hablar de eso.