Pasando una elipse a través de 3 puntos (donde 2 puntos yacen en los ejes de la elipse)? [Actualizado con una declaración alternativa del problema y una imagen nueva]

Question

Actualización

Enunciado alternativo del problema, con nueva imagen

Dados tres puntos $P_1$, $P_2$ y $P_3$ en el plano cartesiano, me gustaría encontrar la elipse que pasa por los tres puntos, sujeta a las siguientes restricciones:

1. Los puntos $P_1$ y $P_2$ se encuentran en los ejes de la elipse.

2. $\|P_2-P_3\|\le\|P_2-P_1\|$, es decir, $P_2$ no está más lejos de $P_3$ que de $P_1$. (Si este no es el caso, simplemente podemos intercambiar las etiquetas de $P_1$ con $P_3$ para asegurarnos de que así sea).

En la imagen a continuación, sea $O$ el centro de la elipse y sean $F_1$ y $F_2$ los focos. También sean $P_1\prime$ y $P_2\prime$ los puntos opuestos a $P_1$ y $P_2$, respectivamente, en la elipse. Estos puntos $O$, $F_1$, $F_2$, $P_1\prime$ y $P_2\prime$ son incógnitas a resolver. ¿Cómo los encuentro? (Nota: ¡esto no es tarea escolar!)

Esto es lo que sé

1. El punto central $O$ se encuentra en un círculo que pasa por los puntos diametralmente opuestos $P_1$ y $P_2$ (mostrado como una línea punteada en naranja) porque el ángulo ${\angle}P_1OP_2$ debe ser de 90°.
2. $\|P_i-F_1\| + \|P_i-F_2\| = 2r$,   $i \in \{1,2,3\}$.    (La suma de las distancias de cualquier punto en una elipse a los focos es un valor constante, en este caso $2r$.)
3. $\|P_2-P_2\prime\| = 2r$    y    $\|P_2-O\|=r$.    (Sigue de #2.)
4. $\|P_1-O\|^2 + \|P_2-O\|^2 = \|P_2-P_1\|^2$.   (Teorema de Pitágoras aplicado al ${\triangle}P_1OP_2$. Sigue de #1.)

¿Qué me falta?

La intuición me dice que debe haber alguna manera simple de encontrar $O$, $F_1$, $F_2$ y $r$ —y sin embargo no veo cómo avanzar desde este punto.

A continuación se presenta el enunciado original del problema, antes de la actualización. El enunciado original toma más un enfoque algebraico, mientras que este nuevo enunciado toma más un enfoque geométrico.

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Enunciado Original del Problema

¿Cómo puedo encontrar la elipse única que pasa por tres puntos distintos P, P y P, de modo que P y P se encuentren en los ejes de la elipse y que P esté más cerca de P que de P? (En el caso más simple, P puede también estar en el mismo eje que P, pero nunca estará en el mismo eje que P ya que los puntos son distintos.) Más específicamente, lo que realmente quiero encontrar es el ángulo con el cual el eje coincidente con P está rotado con respecto al eje x, porque esto me dirá el ángulo de la línea tangente en P, que es en lo que estoy interesado en última instancia.

Esto no es tarea escolar. Esto es para el ajuste de curvas (local) por partes de una colección arbitraria de puntos, donde la curva ajustada pasa por cada punto utilizando segmentos de curvas cúbicas de Bézier. Para cada tripleta de puntos consecutivos, quiero trazar una elipse imaginaria a través de los puntos, con el punto medio (por ejemplo, P) proporcionando una línea tangente agradable de la cual derivar un par de puntos de control de Bézier. Esto proporcionará continuidad C en la curva final.

Enfoques que he intentado hasta ahora

1. El primer enfoque que intenté fue describir la elipse paramétricamente y luego escalar, rotar y trasladarla —y luego formularla como una ecuación a resolver en términos de $\theta$. Eso terminó reduciéndose a: $$ \Big(\frac{A\cos\theta - B\sin\theta}{C\sin\theta - D\cos\theta}\Big)^2 + \Big(\frac{E\cos\theta + F\sin\theta}{G\sin\theta + H\cos\theta}\Big)^2 = 1 $$ donde $A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$,$G$,$H$ son varios componentes vectoriales de deltas entre los tres puntos, pero eso no me llevó a ninguna parte porque no tengo idea de cómo resolver eso.

2. El segundo enfoque que intenté fue tratar de calcular $\theta$ como una función de la razón de $\|\vec{P_2}-\vec{P_3}\|$ sobre $\|\vec{P_1}-\vec{P_2}\|$, pero estaba equivocado al pensar que eso me llevaría a algún lado, ya que a posteriori creo que la razón solo es útil aquí para círculos en lugar de elipses.

3. El tercer enfoque que intenté fue desarrollar una fórmula para una elipse general con centro $(u,v)$, longitudes de semieje mayor/menor $\alpha$ y $\beta$, y rotación $\varphi$. Esto me dio $$ \Big(\frac{(x-u)\cos\varphi + (y-v)\sin\varphi}{\alpha}\Big)^2 + \Big(\frac{-(x-u)\sin\varphi + (y-v)\cos\varphi}{\beta}\Big)^2 = 1 $$ lo cual está bien, pero no veo cómo avanzar con esto.

4. El cuarto enfoque que intenté fue escribir la elipse en forma cuadrática bivariada general $$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 , \quad\textrm{(con A,B,C no todos iguales a cero)} $$ en el cual las elipses se representan cuando $B^2 - 4AC < 0$, y luego escribir tres ecuaciones lineales de $A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$ usando $P_1$, $P_2$ y $P_3$ de la siguiente manera: $$Ax_1^2 + Bx_1y_1 + Cy_1^2 + Dx_1 + Ey_1 + F = 0$$ $$Ax_2^2 + Bx_2y_2 + Cy_2^2 + Dx_2 + Ey_2 + F = 0$$ $$Ax_3^2 + Bx_3y_3 + Cy_2^2 + Dx_3 + Ey_3 + F = 0$$ Donde estoy atascado en este momento es cómo codificar el requisito $B^2 - 4AC < 0$ en este sistema de ecuaciones lineales, y cómo codificar que $P_1$ y $P_2$ se encuentran en los ejes de la elipse.

¿Otros enfoques?

Estoy sin ideas. Creo que la solución es probablemente bastante simple, quizás involucrando unos pocos arcsenos o arcocosenos y una raíz cuadrada o dos. No he podido encontrar este problema en particular en ninguna parte (y por lo tanto ninguna solución convenientemente empaquetada), pero estoy seguro de que no puede ser tan inusual.

Se me ocurrió tomar mi primera solución parcial (enumerada arriba) y hacer algún tipo de búsqueda binaria iterativa para $\theta$ (probando diferentes valores hasta que la curva pase por $P_3$), pero estoy mucho más interesado en una solución en forma cerrada, porque esto se ejecutará en un bucle sobre cientos o miles de conjuntos de puntos.

Answer 1

Resolver para el centro $O$ de la elipse: Sabemos que $O$ está en el círculo con $P_1P_2$ como diámetro y podemos verificar si $P_3$ está o no en la elipse correspondiente. Tenemos: $$\tag1\langle P_1-O,P_2-O\rangle=0$$ $$\tag2\frac{\langle P_3-O,P_1-O\rangle^2}{\langle P_1-O,P_1-O\rangle^2}+\frac{\langle P_3-O,P_1-O\rangle^2}{\langle P_2-O,P_2-O\rangle^2}=1$$ Me temo que la ecuación $(2)$ tiene un grado demasiado alto para permitir soluciones únicas (apuesto a que hay al menos cuatro en el caso general).

¿Por qué no simplemente usar una aproximación, después de todo usarás la elipse misma como una aproximación solamente? Si $M$ es el punto medio entre $P_1$ y $P_3$, suponga que la tangente en $P_2$ debe ser ortogonal a $MP_2$.

Answer 2

Creo que encontré una respuesta: la llamé la ]2 , una vez que encuentras 2 puntos adicionales usando las fórmulas encuentras la cónica a través de 5 puntos como aquí Cónica a través de 5 puntos. Técnicamente para ser exactamente como el dibujo del remitente sabrías lo que yo llamo A1 y P1 serían desconocidos pero es el mismo sistema de ecuaciones ...

Lo publiqué en mi blog aquí: Pizza elíptica en el blog de Ben Paul Thurston

Answer 3

En realidad, estaba sugiriendo mi respuesta anterior a la gente en geogabra y me hablaron sobre esta bonita ecuación paramétrica que solo necesita el punto central y cualquier 2 puntos en la elipse, donde A es el centro: f(t)=A+(B-A)*sin(t)+(C-A)*cos(t)

Answer 4

Como señaló el OP, el centro de la elipse debe estar en el círculo cuyo diámetro es el segmento $P_1 P_2 $. Por lo tanto,

Sea $M = \dfrac{1}{2} (P_1 + P_2) $ y $u_1 = \dfrac{1}{2}(P_2 - P_1)$ y sea $u_2$ tener la misma longitud que $u_1$ y ser perpendicular a este.

Entonces, el centro de la elipse es dado por

$ C = M + u_1 \cos t + u_2 \sin t $

La ecuación paramétrica de la elipse es dada por

$ p(s) = C + (P_1 - C) \cos s + (P_2 - C) \sin s$

El punto $ P_3 $ está en esta elipse, por lo tanto,

$\begin{equation} \begin{split} P_3 &= (1 - \cos s - \sin s) C + P_1 \cos s + P_2 \sin s \\ &= (1 - \cos s - \sin s) (M + u_1 \cos t + u_2 \sin t) + P_1 \cos s + P_2 \sin s \end{split} \end{equation}$

Aplicando el producto punto de ambos lados de la ecuación con $u_1$ y $u_2$, nos da

$P_3 \cdot u_1 = (1 - \cos s - \sin s) ( M \cdot u_1 + \| u_1 \|^2 \cos t ) + (P_1 \cdot u_1) \cos s + (P_2 \cdot u_1) \sin s $

y

$P_3 \cdot u_2 = (1 - \cos s - \sin s ) (M \cdot u_2 + \|u_2\|^2 \sin t ) + (P_1 \cdot u_2) \cos s + (P_2 \cdot u_2) \sin s$

De las dos ecuaciones anteriores, se sigue que

$ \cos t = \dfrac{1}{\|u_1\|^2} \bigg( - M \cdot u_1 + \dfrac{ P_3 \cdot u_1 - (P_1 \cdot u_1) \cos s - (P_2 \cdot u_1) \sin s }{ 1 - \cos s - \sin s } \bigg)$

$\sin t = \dfrac{1}{\|u_2\|^2} \bigg( - M \cdot u_2 + + \dfrac{ P_3 \cdot u_2 - (P_1 \cdot u_2) \cos s - (P_2 \cdot u_2) \sin s ) }{ 1 - \cos s - \sin s } \bigg)$

que tienen la forma:

$ \cos t = \dfrac{A_1 \cos s + A_2 \sin s + A_3 }{ 1 - \cos s - \sin s }$

$ \sin t = \dfrac{B_1 \cos s + B_2 \sin s + B_3 }{ 1 - \cos s - \sin s } $

Ahora aplicamos la identidad $\cos^2 t + \sin ^2 t = 1 $, entonces

$ \bigg(A_1 \cos s + A_2 \sin s + A_3\bigg)^2 + \bigg(B_1 \cos s + B_2 \sin s + B_3\bigg)^2 = (1 - \cos s - \sin s )^2$

Establecemos $ x = \cos s $ y $ y = \sin s $ entonces $(x, y)$ satisface dos ecuaciones, la primera de las cuales es

$ x^2 + y^2 = 1 \hspace{30pt}(1)$

y la segunda es

$ C_1 x^2 + C_2 y^2 + C_3 xy + C_4 x + C_5 y + C_6 = 0 \hspace{30pt}(2) $

donde

$ C_1 = A_1^2 + B_1^2 $

$ C_2 = A_2^2 + B_2^2 $

$ C_3 = 2 (A_1 A_2 + B_1 B_2 - 1 )$

$ C_4 = 2 (A_3 A_1 + B_3 B_1 + 1 )$

$C_5 = 2 ( A_3 A_2 + B_3 B_2 + 1 )$

$ C_6 = A_3^2 + B_3^2 - 2 $

Resolviendo el sistema de $(1)$ y $(2)$ puede dar hasta $4$ soluciones para $(x,y)$.

Al haber obtenido $(x,y)$ podemos encontrar $\cos t $ y $\sin t $ de las ecuaciones anteriores, luego el centro de la elipse se determina así como sus ejes.

Ejecuté el método anterior en los siguientes puntos

$ P_1 = (6,5) , P_2 = (4, 8) , P_3 = (5, 6) $

Obtuve $4$ posibles elipses, mostradas abajo.

Answer 5

@Rahul, la ecuación que diste ( $1+xcos+sin(1-x^2+y^2)/(2y)=ycsc$ ) se puede reescribir en términos de $=tan(/2)$ y los ceros de esa expresión se dan por los ceros del factor cuártico, $^4y^2 + 2^3y(x - 1) + 2^2(x^2 - 1) - 2y(x + 1) + y^2$. Aunque esto permite 4 raíces, físicamente creo que obtendrás 2 raíces reales y 2 imaginarias. Las raíces reales corresponderán al eje mayor de la elipse que pasa por $P_1$ o $P_2$. @Todd-Lehman: la restricción adicional que puedes aplicar es que el eje mayor pase por tu punto medio. En ese caso, la raíz deseada se elige para que dé una recta pasando por $P_2$ y entre $P_1$ y $P_3$.