Al $\lfloor{ab}\rfloor = \lfloor{a}\rfloor\lfloor{b}\rfloor$

Question

Yo estaba pensando acerca de la igualdad (para un poco de diversión)

$\lfloor ab \rfloor = \lfloor a\rfloor\lfloor b \rfloor$

para los no-entero$a$$b$. Me preguntaba si alguien me podría señalar algunas notas de la conferencia o algo donde esta características, ya que no puedo encontrar nada en google. Alternativamente, hay algunos trivial condición de que estoy vistas? He sido garabateaba un rato escribiendo algunas cosas y preguntaba si alguien podría decirme algo acerca de las condiciones para que la igualdad?

Mi proceso de pensamiento fue el siguiente: vamos a $a = a_0.a_1a_2a_3...$$b=b_0.b_1b_2b_3...$. A partir de esto, podemos escribir

$$a = a_0 + \sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\ \ \ \text{and}\ \ \ b = b_0 + \sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}$$

y, a continuación,

\begin{align} ab &= \left(a_0 + \sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\right) \left(b_0 + \sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}\right)\\ &= a_0b_0 + b_0\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n} + a_0\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m} + \left(\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\right)\left(\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}\right) \end{align}

y, a continuación, simplemente tenemos que

$\lfloor a b \rfloor = \lfloor a \rfloor \lfloor b\rfloor$ fib $$0 < b_0\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n} + a_0\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m} + \left(\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\right)\left(\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}\right) <1$$

... más concsely, ver @MorganRogers' respuesta para algunos el mejor uso de la notación.

Answer 1

Como se sugiere en los comentarios, vamos a ampliar el LHS un poco. Voy a usar las $\langle a\rangle$ a representar la parte fraccionaria de $a$. $$\lfloor{ab}\rfloor = \lfloor{(\lfloor{a}\rfloor + \langle a\rangle)(\lfloor{b}\rfloor + \langle b\rangle)}\rfloor = \lfloor{a}\rfloor \lfloor{b}\rfloor + \big\lfloor \lfloor{a}\rfloor \langle b\rangle + \lfloor{b}\rfloor \langle a\rangle + \langle a \rangle \langle b\rangle \big\rfloor.$$

Por lo tanto una condición necesaria y suficiente para que la ecuación se proponen celebrar es que $$0 < \lfloor{a}\rfloor \langle b\rangle + \lfloor{b}\rfloor \langle a\rangle + \langle a \rangle \langle b\rangle < 1.$$

Answer 2

En el primer cuadrante, en el icono cuadrado $[A,A+1)\times[B,B+1)$, tenemos

$$\lfloor a\rfloor \lfloor b\rfloor=AB$$ and $$AB\le ab<(A+1)(B+1).$$

Estamos buscando los puntos tales que

$$AB\le ab<AB+1,$$ which form a subset of the tile delimited by the equilateral hyperbola $$ab=AB+1.$$

Todos los azulejos tal que $AB=0$, las soluciones cubren el área de $$0\le ab<1,$$ es decir, el espacio entre el eje y $ab=1$.

Para los otros azulejos, la intersección de la hipérbola con los bordes son

$$\begin{align} a&=A\to &Ab=AB+1\to &b=B+\frac1A,\\ a&=A+1\to&(A+1)b=AB+1\to &b=\frac{AB+1}{A+1}\le B,\\ b&=B\to &aB=AB+1\to &b=A+\frac1B,\\ b&=B+1\to &a(B+1)=AB+1\to &b=\frac{AB+1}{B+1}\le A.\\ \end{align}$$

Así que la solución es el área dentro de la curvilínea triángulo con lados rectos $a=A,b=B$ y la rama de la hipérbola $ab=AB+1$,$(A,B+1/A)$$(A+1/B,B)$. El área del triángulo es aproximadamente proporcional al $1/AB$.

El estudio será similar para los otros cuadrantes.

Answer 3

Suponemos que $a$ $b$ son no negativos. Supongamos que $m \le a < m + 1$$n \le b < n + 1$. A continuación,$mn \le ab < (m+1)(n+1)$. Por lo que de inmediato es cierto que $$ \lfloor un \rfloor \lfloor b \rfloor \le \lfloor ab \rfloor. $$ Los dos son iguales si y sólo si, además, tenemos que $ab < mn + 1$. I. e., $$ un b - \lfloor un \rfloor \lfloor b \rfloor < 1 $$ Si queremos escribir $a = m + r$, $b = n + s$, donde $0 \le r, s, < 1$, entonces esto se convierte en la afirmación de que $$ ms + nr + rs < 1. $$ El $rs$ factor está delimitado por tanto $r$$s$, por lo que esta expresión es de alrededor de $ms + nr$. A grandes rasgos, este dice que si $a$ $b$ son grandes y de todo el orden de $M$, luego sus partes fraccionarias debe agregar que en la mayoría de las $\frac{1}{2M}$.

Answer 4

$a = [a] + \{a\}$ donde $[a]$ es un número entero y $0 \le \{a\} <1$.

Por lo $[ab] = [[a][b] + [b]\{a\} + [a]\{b\} + \{a\}\{b\}] = [a][b] + [[b]\{a\} + [a]\{b\} + \{a\}\{b\}] = [a][b] \iff 0 \le [b]\{a\} + [a]\{b\} + \{a\}\{b\} < 1$

Así que necesitamos, entre otras cosas, que el$\{a\} < \frac 1b - \frac{[a]\{b\}}b$$\{b\} < \frac 1a - \frac{[b]\{a\}}a$.

Esa es una restricción.

Básicamente, el más grande de la $a$ $b$ son las partes fraccionarias debe ser minúscula.

Por ejemplo: si $a = 2\frac 14$$b < 4- 8\{b\});\{b\} < \frac 12;$$\{b\} < 4/9 - \frac{[b]}9$. Así que si, decir $3 \le b < 4$ tendríamos $\{b\} < 1/9$.

Por lo $2.25$ $3.1$ do $[2.25*3.1] = [6.975] = 6 = [2.25][3.1]$. Ver lo cerca que llegó a fallar?