Espectáculo $17$ no divide $5n^2 + 15$ para cualquier entero $n$

Question

Reclamo: $17$ no divide $5n^2 + 15$ para cualquier entero $n$.

Es allí una manera de hacer esto a un lado de forma exhaustiva teniendo en cuenta $n \equiv 0$, $n \equiv 1 , \ldots, n \equiv 16 \pmod{17}$ y mostrando el $5n^2 + 15$ deja un resto de nada, pero de $0$. Es fácil pero tediosa. Ya que si $n \equiv 0$$5n^2 + 15 \equiv 15$, de modo que 17 no divide $5n^2 + 15$. Hice cuatro más de los casos con éxito, se aburre, y se omite el último caso que también colaboraron. Gracias de antemano por cualquier respuesta.

Answer 1

Se puede transformar la ecuación un poco.

$5n^2 + 15 \equiv 0 \pmod{17}$ es equivalente a $5n^2 \equiv 2 \pmod{17}$ y más a $n^2 \equiv 14 \pmod{17} $ y, finalmente,$n^2 \equiv -3 \pmod{17} $.

Esto ya es más conveniente para comprobar. Y, si usted sabe acerca de la reciprocidad cuadrática puede terminar muy directamente mediante la invocación de ese $-3$ es una ecuación cuadrática de residuos sólo para los números primos congruentes $1 \mod 3$ mientras $17$$2 \mod 3$.

Answer 2

$5(n^2 + 3) \equiv 0 \bmod \ 17$ si y sólo si $n^2 \equiv 14 \bmod \ 17$ pero $\forall\ n \ n^2 \equiv 1, 4, 9, 16, 8, 2, 15, 13\ \bmod \ 17$

Answer 3

${\rm mod}\ 17\!:\ 5(n^2\!+3)\equiv0\,\Rightarrow\,n^2\equiv-3\,\Rightarrow\,n^4\equiv 9\,\Rightarrow\, n^8\equiv -4\,\Rightarrow\,n^{16}\equiv -1$ contra poco de Fermat

Answer 4

Deje $ n=17k + p $ donde$ p, k \in \mathbb{N}$$0\le p \le 16 $. Por lo tanto, $ 5n^2+15=5 \cdot 17^2 k^2+170pk +5p^2 +15 \equiv 5p^2 -2 \; (mod \; 17)$

PS. Usted puede hacerlo por $n^2 +3$.