La reescritura de la fórmula de sumación de

Question

Acabo de ver un tutorial sobre la recurrencia de la sustitución. En el tutorial, es mencionado acerca de la reescritura de

$\sum\limits_{i=1}^\mathbb{k}{2^i}$

como (2^k+1 - 2). Mi pregunta es puedo generalizar como x^{límite + 1} - x, donde x es la base.

Answer 1

Deje $S = \sum_{i=1}^k x^i$. Considere la siguiente manipulación $$S = x + x^2 + x^3 + \cdots + x^k = x(1 + x + \cdots + x^{k-1}) = x(S + 1 - x^k)$$ De ello se desprende que $S = (x^{k+1} - x)/(x - 1)$

Answer 2

Bonito observación y casi cierto: $$ \sum\limits_{i=1}^\mathbb{n}{a^i} = \frac{a^{n+1} -} {- 1} $$ Es un caso especial de una progresión geométrica.

Answer 3

Vamos $$a(n)=b^n$$ para algunos $b$; a continuación, $$\Delta a(n)=a(n+1)-a(n)=b^{n+1}-b^n=b^n(b-1);$$ dividir ambos lados por $b-1$: $$b^n=\frac{\Delta a(n)}{b-1};$$ sustituya por $a(n)$: $$a(n)=b^n=\frac{\Delta (b^n)}{b-1}={\large\Delta}\left(\frac{b^n}{b-1}\right).$$ Evaluar $$\sum\limits_{k=1}^na(k).$$ Aplicar el teorema fundamental del cálculo discreto: $$\sum\limits_{k=1}^na(k)=\bigg({\large\Delta}^{-1}a(k)\bigg)\Bigg|_{k=1}^{n+1}=\left(\frac{b^k}{b-1}\right)\Bigg|_{k=1}^{n+1}=\frac{b^{k+1}}{b-1}-\frac{b}{b-1};$$ escribir la respuesta: $$\therefore\sum\limits_{k=1}^nb^k=\frac{b^{k+1}-b}{b-1}.$$