La búsqueda de soluciones a $y^2 = x^3 - 27$

Question

Estoy tratando de encontrar entero soluciones de esta ecuación:

$$ y^2 = x^3 - 27 $$

Con el otro problema que he intentado yo era capaz de utilizar la factorización única en $\mathbb Z [\sqrt{n}]$. No sé cómo empezar a trabajar en esto. He intentado buscar en línea y hay algunas cosas sobre curvas elípticas, pero no los entiendo.

Aquí está lo que he probado hasta ahora:

$x$ es impar ya que de lo contrario $y^2 = -27 = 5 \mod 8$ pero $5$ no es un cuadrado mod $8$ $y$ es incluso.

$ x^3 = y^2 + 27 $

$ x^3 = (y + 3\sqrt{-3})(y-3\sqrt{-3})$ $\mathbb Z[\sqrt{-3}]$ que es la única factorización prima.

Ningún divisor común debe dividir $6\sqrt{-3}$, por lo que la norma de común divisor debe dividir $108$?

???

Gracias por la ayuda, lo siento, el inglés no es mi primera lengua.

edit: he Aquí algo nuevo trabajo:

Deje $d$ el máximo común divisor de a$y+3\sqrt{-3}$$y-3\sqrt{-3}$. a continuación,$N(d) | 108$$N(d) | y^2 + 27 $, esto es número impar. $N(d)$ es número impar por lo $N(d) = 1, 3, 9, 27$. (Sé que en realidad necesito $N(d) = 27$ debido a que da $y=0$.)

Answer 1

Parece que el siguiente.

Esta ecuación es un caso especial de la Mordell ecuación, $y^2 =x^3 +A$. Una enorme cantidad de trabajo que se ha hecho en el Mordell ecuación, y las soluciones han sido tabulados para un amplio rango de valores de $A $, por ejemplo, aquí.

También es nuevo para mí que considere la posibilidad de un no-natural de la factorización. Tenemos $(x-3)(x^2+3x+9)=y^2$. Poner $a=GCD(x-3,x^2+3x+9)$. Es fácil mostrar que $a|27,$, de modo que descanse para resolver los sistemas de $$\casos{ x-3=du^2\\ x^2+3x+9=dv^2},$$ where $u$ and $v$ are coprime and $d=3^k$, $0\le k\le el 3$. For instance, for $d=1,9$ we obtain $(x+1)^2<(\sqrt{d}v)^2<(x+2)^2$ provided $x>5$, so we have $x=3$. I'll think about the cases $d=3,27$.