Funciones de generación y la de Riemann Zeta Función

Question

La generación de la función de los términos de la serie armónica:

$\frac{1}{n}$

es $-\ln(1 - x)$.

Hace un ordinario de generación de función existe para los términos de la función zeta $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ para cualquier $ s > 1$?

Es decir, ¿existe alguna función $f(x)$ que puede ser expresado en términos de funciones elementales tales que $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}x^n$ algunos $s > 1$?

Estoy asumiendo que tal función en realidad no existe. Esto puede ser demostrado ser el caso?

Answer 1

Esta es una respuesta a la pregunta inicial (pidiendo una generación de la función de $\zeta(s)$) :

• $−\ln(1−x)$ es la generación de la función de $\ \frac 1n$.
• $-\frac{\ln(1−x)}{1-x}$ es la generación de la función de el número armónico $\ H_n=\sum_{k=1}^n\frac 1k$

La generación de la función de la generalizada número armónico $\ H_{n,s}:=\sum_{k=1}^n\frac 1{k^s}\ $ está dada por : $$\frac{\operatorname{Li}_s(x)}{1-x}$$ con $\operatorname{Li}_s$ el polylogarithm.

Debe usted simplemente desee $\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}=\operatorname{Li}_s(x)\ $, entonces el punto punto la respuesta es correcta, por supuesto !

Tenga en cuenta que una generación de función para $\zeta(n)$ es conocida como la función digamma: $$\psi(1+x)=-\gamma-\sum_{n=1}^\infty \zeta(n+1)\;(-x)^n$$ mientras que la reflexión de la fórmula que permite obtener el incluso valores de $\zeta$ directamente : $$\pi\;x\;\cot(\pi\;x)=-2\sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)\;x^{2n}$$

Answer 2

La función que se busca es la Li$_s(z)$, el polylogarithm.