¿El movimiento Browniano visita cada punto incontablemente muchas veces?

Question

Deje que $B_t$ ser un movimiento Browniano estándar unidimensional.

¿Es cierto que, casi con toda seguridad, por cada $x \in \mathbb {R}$ el conjunto $\{t : B_t = x\}$ es incontable?

Deje que $A_x$ sea el evento que $\{t : B_t = x\}$ es incontable. Es bien sabido que $ \mathbb {P}(A_0) = 1$ . Por la recurrencia y la fuerte propiedad de Markov, también tenemos $ \mathbb {P}(A_x) = 1$ para cada $x$ . Estoy preguntando sobre la probabilidad de $A = \bigcap_ {x \in \mathbb {R}} A_x$ . Debido a la innumerable intersección, no es ni siquiera obvio que este conjunto sea medible.

George Lowther en este comentario dice que la respuesta es sí, pero no veo cómo probarlo.

Answer 1

En realidad, existe un límite inferior casi seguro para la dimensión de Hausdorff de los conjuntos de niveles del movimiento browniano que se deriva del teorema de Ray-Knight. $$ a.s \quad \forall a\in \mathbb{R}, \quad \text{dim}\{t \geq 0 | B(t) =a\} \geq \frac{1}{2}. $$

Este es un teorema (6.48, p. 170) del libro, "Movimiento Browniano" por Peres y Morters.

Answer 2

Considere $C_x$ sea el caso de que el conjunto ${t: B_t = x}$ es contable.

Para cualquier $x$ la medida de $C_x$ es cero. La unión de conjuntos contables de medida cero es también un conjunto de medida cero. $A = \bigcap A_x = -\bigcup -A_x = -\bigcup C_x$ y por lo tanto tiene una medida de $1$ .