Si $f(x+1)+f(x-1)= \sqrt{2}\cdot f(x)$, determinar el periodo de $f(x)$.

Question

Si $f(x+1)+f(x-1)= \sqrt{2}\cdot f(x)$, entonces el período de $f(x)$ es?

Traté de sustitución de $x$ $x-1$ y esas cosas, pero no me llevan a nada...

Answer 1

Hacer $x=x-1$

$$f(x)+f(x-2)=\sqrt{2}f(x-1) \tag {1}$$

Hacer $x=x+1$

$$f(x+2)+f(x)=\sqrt{2}f(x+1) \tag {2}$$

Ahora suma $(1)$$(2)$:

$$2f(x)+f(x+2)+f(x-2)=\sqrt{2}(f(x+1)+f(x-1))=2f(x) $$

$$f(x+2)+f(x-2)=0$$

Ahora hacer $x=x+2$$f(x+4)=-f(x)$.

Hacer $x+4$ y consigue $f(x+8)=-f(x+4)=f(x)$, entonces el período es $8$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}}$. Por lo tanto,

$$f(x + 1) + f(x - 1) = \frac{1}{\sqrt{2}}f(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}f(x)$$ $$\begin{align}f(x + 1) &= \frac{1}{\sqrt{2}}f(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\left(f(x) - \sqrt{2}f(x - 1)\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}f(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-f(x - 2)\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(f(x) - f(x - 2)\right)\end{align}$$

$$\sqrt{2}f(x + 1) = f(x) - f(x - 2)$$ $$\sqrt{2}f(x) = f(x - 1) - f(x - 3)$$

Por lo tanto,

$$f(x - 1) - f(x - 3) = f(x + 1) + f(x - 1)$$ $$f(x + 1) = -f(x - 3)$$ $$f(x) = -f(x - 4)$$

Por lo tanto,

$$f(x) = -f(x - 4) = -(-f(x - 8)) = f(x - 8)$$

así, el período es $8$.

Answer 3

Esta es una corriente lineal de recurrencia, que se puede resolver utilizando la ecuación característica

$$r+\frac1r=\sqrt 2.$$

Las raíces se $r=\dfrac{1\pm i}{\sqrt2}$, y la solución general es

$$f(n)=C\left(\dfrac{1+i}{\sqrt2}\right)^n+C^*\left(\dfrac{1-i}{\sqrt2}\right)^n=Ce^{in\pi/4}+C^*e^{-in\pi/4}=A\cos\frac{n\pi}4+B\sin\frac{n\pi}4.$$

Las constantes $C$ o $A,B$ puede ser obtenido a partir de ciertas condiciones, tales como $f(0)$$f(1)$. Esto sólo se resuelve por entero argumentos. Para argumentos reales, puede especificar las condiciones iniciales mediante la asignación de $f(x)$ valores arbitrarios para $0\le x < 2$.

Esto demuestra que el período es $8$.