Lindo límite: $\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\sin(x)^x − x^ {\sin(x)}}{\tan(x) ^x − x^{\tan (x)}}$

Question

¿Cuál es la manera más rápida para calcular el siguiente límite (idealmente, sin tener que recurrir a Taylor expansiones)?

$$\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sin(x)^x − x^ {\sin(x)}}{\tan(x) ^x − x^{\tan (x)}}$$

Answer 1

El Valor medio Teorema dice $$ \frac{e^x-e^y}{x-y}=e^\xi $$ para algunos $\xi$$x$$y$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)^x−x^{\sin(x)}}{\tan(x)^x−x^{\tan(x)}} &=\lim_{x\to0^+}\frac{x\log(\sin(x))-\sin(x)\log(x)}{x\log(\tan(x))-\tan(x)\log(x)}\tag{1}\\[6pt] &=\lim_{x\to0^+}\frac{x\log(x)+x\log\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)-\sin(x)\log(x)}{x\log(x)+x\log\left(\frac{\tan(x)}{x}\right)-\tan(x)\log(x)}\tag{2}\\ &=\lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin(x)+\frac{x}{\log(x)}\log\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)}{x-\tan(x)+\frac{x}{\log(x)}\log\left(\frac{\tan(x)}{x}\right)}\tag{3}\\ &=\lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin(x)+\frac{x}{\log(x)}O\!\left(\frac{x-\sin(x)}{x}\right)}{x-\tan(x)+\frac{x}{\log(x)}O\!\left(\frac{x-\tan(x)}{x}\right)}\tag{4}\\ &=\lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin(x)+O\!\left(\frac{x-\sin(x)}{\log(x)}\right)}{x-\tan(x)+O\!\left(\frac{x-\tan(x)}{\log(x)}\right)}\tag{5}\\[9pt] &=\lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin(x)}{x-\tan(x)}\tag{6}\\[15pt] &=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos(x)}{1-\sec^2(x)}\tag{7}\\[15pt] &=\lim_{x\to0^+}-\frac{\cos^2(x)}{1+\cos(x)}\tag{8}\\[15pt] &=-\frac12\tag{9} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: Valor Medio Teorema De
$(2)$: $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$(3)$: divide el numerador y el denominador por $\log(x)$
$(4)$: $\log(1+x)=O(x)$
$(5)$: álgebra
$(6)$: $O\!\left({\raise{1.5pt}\frac{u}{\log(x)}}\right)=o(u)$ como $x\to0^+$
$(7)$: L'Hôpital
$(8)$: multiplicar el numerador y el denominador por $\frac{\cos^2(x)}{1-\cos(x)}$
$(9)$: evaluar en $x=0$

Answer 2

Para ampliar mi comentario, voy a utilizar los siguientes dos límites en el aparte de la norma del transportatio: $$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}} = \frac{1}{6},\,\lim_{x \to 0}\frac{x - \tan x}{x^{3}} = -\frac{1}{3}$$, Tanto la de arriba es muy fácil de obtener, ya sea a través de la serie de Taylor o a través de L'Hospital de la Regla.

Tenemos a continuación \begin{align} L &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sin^{x}x - x^{\sin x}}{\tan^{x}x - x^{\tan x}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{\exp(\sin x\log x)}{\exp(\tan x\log x)}\cdot\frac{\exp(x\log\sin x - \sin x\log x) - 1}{\exp(x\log\tan x - \tan x\log x) - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{\exp(x\log\sin x - \sin x\log x) - 1}{\exp(x\log\tan x - \tan x\log x) - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{\exp(x\log\sin x - \sin x\log x) - 1}{x\log\sin x - \sin x\log x}\cdot\frac{x\log\sin x - \sin x\log x}{x\log\tan x - \tan x\log x}\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cdot\frac{x\log\tan x - \tan x\log x}{\exp(x\log\tan x - \tan x\log x) - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x\log\sin x - \sin x\log x}{x\log\tan x - \tan x\log x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{(x - \sin x)\log x + x\log\dfrac{\sin x}{x}}{(x - \tan x)\log x + x\log\dfrac{\tan x}{x}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x - \sin x}{x - \tan x}\cdot\dfrac{1 - \dfrac{1}{\log x}\dfrac{x}{\sin x - x}\log\dfrac{\sin x}{x}}{1 - \dfrac{1}{\log x}\dfrac{x}{\tan x - x}\log\dfrac{\tan x}{x}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{x - \sin x}{x - \tan x}\cdot\dfrac{1 - 0\cdot 1}{1 - 0\cdot 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{\dfrac{x - \sin x}{x^{3}}}{\dfrac{x - \tan x}{x^{3}}}\notag\\ &= -\frac{1}{2}\notag \end{align}

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Hemos utilizado los siguientes límites estándar en la derivación anterior $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\exp(x) - 1}{x} = 1,\lim_{x \to 0^{+}}x\log x = 0$$ Note that $\el pecado x\log x = \dfrac{\sin x}{x}\cdot x \log x \1\cdot 0 = 0$ as $x \a 0^{+}$ and similarly $\tan x\log x \to 0$. Further $x\log\sin x = x\log x + x\log\dfrac{\sin x}{x} \to 0 + 0\cdot \log 1 = 0$ as $x \a 0^{+}$ and similarly $x\log\tan x \to 0$. Also note that if $t = (\sin x - x)/x$ then $t \a 0$ as $x \a 0^{+}$ and hence $$\frac{x}{\sin x - x}\log\frac{\sin x}{x} = \frac{\log(1 + t)}{t} \to 1$$ and in similar manner $$\frac{x}{\tan x - x}\log\frac{\tan x}{x} \to 1$$

La de arriba es una manera razonablemente rápida (aunque no tan bueno como el uso de series de Taylor) para evaluar este lindo límite y el esfuerzo real es en la tipificación de la solución completa. Los límites mencionados en el comienzo de la respuesta ya son famosos y juegan un papel clave aquí, aparte de la norma de los límites mencionados en la parte posterior de la respuesta.