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Demuestre que esta integral larga es igual a 01x8+x4+11x3+1dx=5π123

01x8+x4+11x3+1dx=5π123

x8+x4+1=(x2+x1)(x2x1)(x2+x+1)(x2x+1)

x3+1=(x+1)(x2x+1)

Ax+1+Bx+Cx2x+1=1x3+1

Ax+Bx2+x1+Cx+Dx2x1+Ex+Fx2+x+1+Gx+Hx2x+1=1x8+x4+1

sería una pesadilla tratar de descomponer la fracción.

Me gustaría que me ayudaran, por favor.

2 votos

¿Conoce la integración compleja? Esto podría resolverse muy bien con el Teorema del Residuo.

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Se puede evitar la descomposición parcial de la fracción aprovechando cuidadosamente es.wikipedia.org/wiki/Función_digamma#Fórmula_de_reflexión

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Lo resolví con Maple pero el resultado fue 5363π .

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Roger Hoover Puntos 56

Queremos calcular: I=10x41x121dxx3+1+10x8x121x12xdxx3+1=101x3+x61+x4+x8dx es decir: I=10(1x3x4+x6+x7x10)dx1x12 o: I=k0(112k+1112k+4112k+5+112k+7+112k+8112k+11). Por la fórmula de reflexión del función digamma que tenemos: k0(112k+τ112k+(12τ))=π12cotπτ12 y el resultado deseado se deduce trivialmente de cot(π12)=2+3 .

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@DejanGovc: puede haber un error de signo pero mi resultado final coincide con el tuyo, así que no debería ser. He dividido el rango de integración como (0,1)(1,+) y aplicó la sustitución x1x en la segunda integral, para tener una integral sobre (0,1) que coincide con la integral original.

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Marco Cantarini Puntos 10794

Si realmente te gustan las fracciones parciales puedes notar que I=101x3+x61+x4+x8dx=143101x2+3x+1dx+14101x2+x+1dx +34101x2x+1dx143101x23x+1dx =1232+331x2+1dx+12331/31x2+1dx +321/31/31x2+1dx1232331x2+1dx por lo que tenemos 4 integrales elementales por lo tanto I=5π123.

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