¿Cómo cambiar las métricas de ayudar a encontrar soluciones a una ecuación diferencial parcial?

Question

Me estoy tomando un curso en el análisis funcional y mientras que la revisión de la definición de una métrica y varios ejemplos, mi profesor mencionó que una de las razones que nos preocupamos de intercambio (posiblemente equivalente?) indicadores está en la pde, dado que una solución a un pde puede ser muy difícil de encontrar en un espacio métrico, pero es más fácil en la otra.

Yo esperaba que el mathstack comunidad de intercambio podría ser capaz de ampliar esto y tal vez me proporcione algunos ejemplos que espero que me puedan entender.

Gracias!

Answer 1

Esto es realmente incrustado en una de las cuestiones centrales en el PDE, es decir, bien posedness. El bien posedness de un PDE requiere de tres cosas: la existencia de una solución, la unicidad de las soluciones, y la continua dependencia de la solución en los datos del problema. En cada una de estas afirmaciones no es en realidad un ingrediente que falta crucial: la existencia en el espacio y en qué sentido, la singularidad en qué espacio o una colección de funciones, y en continuidad con respecto a que la métrica o la topología?

Es en la cualificación de los espacios / métricas en estas tres cuestiones que nos encontramos con su profesor punto. He aquí un ejemplo muy importante en la teoría de ecuaciones elípticas.

Deje $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ ser limitado y abierto con un suave límites y considerar la distribución de Poisson problema de encontrar $u$ tal que $$ \begin{cases} -\Delta u =f & \text{in }\Omega \\ u =0 & \text{on }\partial \Omega \end{casos} $$ para una función determinada, $f$ (los datos en el problema). Sorprendentemente, es posible encontrar ejemplos explícitos de las funciones de $f \in C^0(\bar{\Omega})$ tal que el problema no admite una solución de $u \in C^2(\Omega)$, donde aquí la noción de solución es pointwise, es decir, $-\Delta u(x) = f(x)$ todos los $x \in \Omega$. Enmarcada en los términos de la discusión anterior, el problema es que no se bien planteado en el espacio $C^2(\Omega)$ datos en $C^0(\Omega)$.

Sin embargo, si se cambia a una función diferente espacio y una noción de la solución, entonces se puede llegar a una solución para el mismo $f$ dado anteriormente. Si trabajamos con soluciones débiles, entonces requerimos $u \in H^1_0(\Omega)$ ($L^2$ espacio de Sobolev de orden $1$ con funciones de fuga en el límite), y una solución debe satisfacer $$ \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int_\Omega f v \text{ para todo }v \in H^1_0(\Omega). $$ Dentro de este contexto es posible demostrar que existe un único $u \in H^1_0(\Omega)$ solución de los PDE en el anterior sentido débil, y que $u$ depende continuamente en $f$ $H^1_0$ métrica en el sentido de que $$ \Vert u \Vert_{H^1_0} \le C_1 \Vert f \Vert_{L^2} \le C_2 \Vert f \Vert_{C^0} $$ para algunas constantes $C_1,C_2>0$ que no dependen de $f$. Esto significa que el problema está bien planteado en este sentido débil, y la diferencia clave está en cambiar nuestra noción de la solución y la métrica que se utiliza para definir la función de espacio para las soluciones y para "medir" la dependencia de las soluciones en los datos.

Este es, por supuesto, sólo un pequeño ejemplo. Hay muchos, muchos más...

Answer 2

He aquí una perspectiva, que implica la noción de la distancia en función de los espacios.

Pensar en las diferentes normas en función de los espacios que nos da diferentes formas de medición de aproximaciones. La base de esta intuición es que las normas medir la distancia entre funciones y así nos dejan saber, en cierto sentido, cómo buenas aproximaciones. Teoremas de existencia cuyas pruebas son, en definitiva, basado en la consideración de las secuencias (en particular, la representación de Riesz teorema y sus derivados de tipo de Lax-Milgram[1]) son sensibles al método que se utilice para determinar la "cercanía" de las aproximaciones.

A menudo en la búsqueda de fuerte o débil, las soluciones a las ecuaciones en derivadas parciales queremos utilizar la información sobre el PDE (tales como su orden). Incorporamos esta información por la elección de la función de espacio con la mejor métrica como la configuración de nuestro estudio. Una vez que tenemos una configuración adecuada, el uso eficaz de teoremas de existencia como Riesz o de Lax-Milgram para el estudio de la existencia y las propiedades de las soluciones.)

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Para hacer este concreto, vamos a considerar un resultado positivo, simétrica ilimitado operador $T$ definido en un dominio denso $D$ en un espacio de Hilbert $H$. El ejemplo básico es el Laplaciano $T = \Delta = -\sum\partial_i^2$ definido en forma compacta admite las funciones lisas $D = C^\infty_0(\Omega)$ en dos dimensiones delimitado el dominio $\Omega\subset\Bbb{R}^2$, e $H = L^2(\Omega)$.

La ecuación de $\Delta u = f$ es realmente una pregunta acerca de álgebra lineal en $H$: "Dada la $f\in H$, que podemos encontrar en $u\in D$ tal que $Tu = f$?" Si $T$ fueron delimitadas, nos gustaría ser capaces de utilizar la representación de Riesz teorema a la conclusión de que una solución débil es, de hecho, una verdadera solución. Sin embargo, $T$ no está delimitado --- es decir, la métrica de $H$ no es adecuado para encontrar una solución a la ecuación.

Podemos definir una nueva norma en $D$ mediante el establecimiento $\|u\|_T^2 = (u,u) + (Tu,u)$. Desde $T$ es simétrica y positiva, esto es, de hecho, un producto interior. Tomar la finalización de $D$ con respecto a esta norma; la llamada es $V.$, De hecho, la extensión de la inclusión del mapa de $D\hookrightarrow H$ es un compacto de la incrustación. (Compacidad no es evidente; se desprende de lo delicado de la PDE estimaciones y se llama la Rellich-Kondrachov teorema. El espacio de $V$ es en este caso el espacio de Sobolev $H^1_0(\Omega)$.)

En esta nueva norma , donde la medición de la distancia incluye tanto $L^2$ y la acción de la $T$, la representación de Riesz teorema ahora garantiza un almacén de solución débil operador $S$ a de la ecuación de $(Tu,\cdot) = F$ donde $F$ es un acotado funcional en $V$. Resulta que $H\to V^*$ definido por la toma de $f$ $(f,\cdot)$donde $\cdot$ es considerado como un elemento de $H$, es un operador compacto. Por lo componen con la solución operador tenemos una solución compacta de operador $H\to V$, lo que da soluciones a la debilidad de la ecuación.

(Tenga en cuenta que he pasado por alto muchos detalles y posibles generalizaciones, que comprenden la mayoría de una segunda clase graduada en ecuaciones en derivadas parciales. Estos detalles se pueden encontrar en el cap 5-6 de Ecuaciones Diferenciales Parciales por Evans, o Ch 7-8 de Diferencial Parcial Elíptica Operadores de Segundo Orden por Gilbarg y Trudinger. Dos de las grandes preguntas que van más allá del alcance de esta respuesta: ¿Cuál es la prueba de Rellich-Kondrachov? Cuando es una solución débil de hecho una fuerte solución? Este último es conocido como "elíptica regularidad.")

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[1] La prueba de Riesz (con lo que quiero decir $H\leftrightarrow H^*$) se basa en la elección de un vector en un factor de descomposición ortogonal de $H$; pensar en la manera de calcular esto.