¿Esto es prueba de la infinitud de primos válidos?

Question

La edición actual (Mayo de 2015) de la American Mathematical Monthly tiene una línea de prueba que hay un infinito número de números primos, y no veo por qué no es correcta.

He aquí la prueba:

Si el conjunto de los números primos es finito, entonces

$$0 < \prod\limits_{p} \sin\left(\frac{\pi}{p}\right) = \prod\limits_{p} \sin\left(\frac{\pi(1+2\prod_{p'}p')}{p}\right) =0 .$$

(Esa es toda la prueba.)

Ya veo por qué la primera igualdad se mantiene, ya que, si sólo hay un número finito de números primos, $p \mid \prod_{p'}p'$ para todos $p$.

Pero no veo por qué la segunda igualdad ("$A= 0$") sostiene. Ninguno de los términos en el producto son cero, y, puesto que sólo hay un número finito de ellos, el producto no es cero.

Así, yo no entiendo la prueba, o es la prueba incorrecta?

Gracias.

Answer 1

Tenemos que tener ese $1 + 2\prod_ {p'} p' es divisible por algún primer $q$, $ así $ 1 + 2\prod_ {p'} p' = kq$ para algún entero $k$. Pero entonces, $$\sin\left(\frac{\pi(1+2\prod_{p'}p')}{q}\right) = \sin \pi k = 0$ que da la igualdad de la derecha.