¿Hay una rigurosa manera de decir, "si $G$ y $H$ son isomorfos entonces $G$ y $H$ comparten las mismas propiedades"?

Question

Así, la mayoría de nosotros hemos estado en la introducción del curso de álgebra y resultó hechos básicos acerca de isomorfo grupos (o anillos, módulos, etc., vamos a utilizar grupos como el ejemplo y llamarlos $G$$H$), tales como

"$G$$H$ tienen el mismo número de elementos de orden $n$ cualquier $n\in\mathbb{N}$", o "$G$ es abelian si y sólo si $H$ es abelian", y así sucesivamente.

Después de un tiempo, podemos dejar de molestar a demostrar que las propiedades que nos interesan son siempre preservado por isomorfismo. Por ejemplo, encontramos que es muy natural decir que si $G$ es isomorfo a un nilpotent grupo, a continuación, $G$ es nilpotent, y el uso de ella sin dudar en una prueba. Y, de hecho, nunca nos ha fallado porque isomorphisms de hecho codificar la "similitud" de los dos grupos.

Pero me pregunto si todavía hay alguna manera rigurosa de decir que estos tipos de propiedades siempre se pueden compartir? No estoy dudando de que esto es cierto, pero es algo que me daba curiosidad.

Answer 1

Depende de a qué te refieres con "propiedades". Una especie de definición tautológica es "una propiedad es algo invariante bajo isomorfismo," el que hace la declaración desea tautologically verdadero.

Menos tautológica definición es "una propiedad es una de primer orden de declaración en el primer orden lenguaje de los grupos," y, a continuación, es un teorema que si dos grupos son isomorfos, entonces el mismo primer orden afirmaciones son verdaderas (primaria equivalencia). Pero muchos de los ejemplos naturales de propiedades que no se pueden expresar como primero en el orden de las declaraciones, por ejemplo, la simplicidad. Así que usted puede pasar a segundo orden de las declaraciones, y es de nuevo un teorema que si dos grupos son isomorfos, entonces el mismo segundo orden afirmaciones son verdaderas en ellos.