Esto no es una respuesta a su pregunta. Más bien, es un "menos misterioso" versión de la Milnor-Stasheff la construcción de la Stiefel-Whitney clases, que no se refieren explícitamente a Steenrod operaciones. (Yo creo que he aprendido de mi asesor de tesis, cuando yo era un chaval ... fue hace mucho tiempo ...)
Deje que $V\a X$ ser un verdadero vector de paquete. Vamos $S^\infty=\bigcup S^n$, la dimensión infinita de la esfera. Tomando el producto con $S^\infty$ da un vector paquete $V\times S^\infty\X\times S^\infty$. Me producen un vector paquete $V'\X\times RP^\infty$ dividiendo a cabo por una acción del grupo cíclico de orden $2$ en tanto la base como el espacio total de:
- sobre la base de $X\times S^\infty$, la involución es de $(x,y)\mapsto (x,-y)$;
- en el espacio total $V\times S^\infty$, la involución es de $(v,y)\mapsto (-v,-y)$.
La clase de Euler $e(V')$ $V$ es un elemento de grado $$ n $H^\*(X\times RP^\infty; Z/2) = H^\*(X;Z/2)[t]$. La siguiente fórmula se tiene:
$$ e(V') = t^n + w_1(V)t^{n-1}+\cdots + w_n(V).$$
Así que si usted tiene una clase de Euler, entonces usted puede utilizar esto como la definición de la Stiefel-Whitney clases. El ministerio de defensa-2 de Euler de la clase es bastante fácil de definir de Milnor-Stasheff punto de vista de: $e(V')$ es el pullback a lo largo de la $0$ sección de la clase de orientación en la cohomology de la Thom espacio de $V'$.
Es fácil comprobar los axiomas de este tipo. Ciertamente es natural, ya que $V\mapsto V'$ e $e$ son functorial. Whitney suma de la siguiente manera a partir de $(V\oplus W)'\aprox V'\oplus W'$ y el Whitney fórmula de la suma para la clase de Euler. Si $R\a \*$ es el trivial paquete, luego $R'\a RP^\infty$ es el canónica de la línea, por lo que $e(R')=t$ así $w_0(R)=1$ y $w_1(R)=0$. Usted puede usar esto para mostrar que $w_0(V)\in H^0 X$ es igual a $1$ para cualquier paquete de más de $X$, tirando hacia atrás de $V$ a través de cualquier punto de $X$ (donde se vuelve trivial). Si $L\a RP^\infty$ es el canónica de la línea, luego $L'\a RP^\infty\times RP^\infty$ es $L_1\otimes L_2$, el producto tensor de la canónica de la línea de paquetes sobre cada factor. Por lo que $e(L')=s+t= 1\cdot t^1 + s\cdot t^0$, dando $w_0(L)=1$ y $w_1(L)=s$ (donde $s\H^1RP^\infty$ es el generador).
Añadió más tarde. Yo escribí lo anterior, mientras que yo estaba un poco febril :). No se me ocurren cuando se describe lo que es una bonita forma estándar de construcción característico de las clases; la variante que da clases de chern probablemente es más familiar.
También me dijo que es una "versión" de la Steenrod operación de construcción de SW clases, así que vamos a tratar de explicarme. Voy a esbozar un "directo" la prueba de que el Steenrod definición de operación de SW clases es equivalente a la que se dio anteriormente (es decir, sin referencia a los axiomas que M-S para dar SW clases).
Steenrod operaciones provienen de un extendido "de plaza" de la construcción en cohomology las clases (ver mi respuesta en por Qué lo hace pensar a uno a Steenrod plazas y poderes?). Si $X$ es un espacio, vamos a $DX=(X\times X \times S^\infty)/(Z/2)$, donde puedo dividir por la involución $(x_1,x_2,y)\a (x_2,x_1,-y)$. El extendido "cuadrado" es una función
$$P: H^n(X) \H^{2n}(DX).$$
Cohomology es con mod-2 coeficientes. Si usted restict a lo largo de la "diagonal" incorporación de $d: X\times RP^\infty \, DX$, se obtiene Steenrod plazas:
$$d^\*(P(a)) = t^{n}Sq^0(a) + t^{n-1}Sq^1(un) + \cdots + Sq^n(a).$$
Hay una relativa versión de este: si $V\a X$ es un vector paquete, por lo que es de $DV\, DX$; $T(V)$ para la Thom espacio de $V$, y escribir $f: T(V) \T(DV)$ para el mapa inducida por la diagonal de la inclusión. Si $u\H^nT(V)$ es la clase de orientación, a continuación,
$$f^\*(P(u))= t^{n}Sq^0(u)+t^{n-1}Sq^1(u)+\cdots +Sq^n(u).$$
De acuerdo a Milnor-Stasheff, $Sq^i(u)=u\\,w_i(V)$.
La cuidada hecho es que $P(u)\in H^{2n}T(DV)$ tiene que ser la clase de orientación de $u'$ de $DV\, DX$! Por lo que siempre que puedo describir la clase de orientación, no necesito saber acerca de Steenrod opeartions! Por lo tanto, $f^\*(u')\in H^\*TV[t]$ es el polinomio cuyos coeficientes son los SW clases. Para obtener la fórmula que me dio originalmente, se observa que $f^*(u')=u\\, e(V')$, esto es debido a la retirada del paquete de $TV\a TX$ junto $d: X\a DX$ es el mismo que el paquete de $V+V' \a X$.
¿Por qué es de $P(u)$ la clase de orientación de $DV$? La clase de orientación de un paquete ordinario cohomology mod-2 es el único elemento que restringe a la clase fundamental de la esfera cuando se restringe a cada fibra, por lo que sólo tendrá que comprobar que $P(u)$ tiene esta propiedad. Y esto es bastante fácil (la operación $P$ es natural, y es fácil entender cómo $P$ funciona cuando tienes un espacio discreto, o un paquete de más de un espacio discreto.)
