Mapas apropiados y las familias de múltiples complejos compactos

Question

Kodaira define un complejo analítica de la familia de compactos complejos colectores como los datos de $(E,B,\pi)$ donde $E$ $B$ son complejos colectores y $\pi$ es un surjective holomorphic sumersión tal que la preimagen $\pi^{-1}(x)$ de cualquier punto de $x \in B$ es un pequeño complejo submanifold de $E$. (Aquí complejos colectores están obligados a estar conectados.)

Una propiedad clave de esta definición es que este especifica un diferenciable de fibra de paquete. Este hecho casi puede ser obtenido a partir de la Ehresmann fibration teorema, que podría enunciarse de la siguiente manera: "Vamos a $X$, $Y$ ser diferenciable colectores, y deje $f: X \rightarrow Y$ ser un adecuado surjective de la inmersión. A continuación, $f$ es la proyección de un diferenciable de fibra de paquete."

En particular, el mapa de $\pi$ definición de una familia carece el propio necesaria para aplicar Ehresmann del teorema. Es, sin embargo, un corolario del hecho de que una familia le da una fibra paquete que $\pi$ es de hecho correcta.

Hay más elemental forma de ver que $\pi$ debe ser apropiado?

Answer 1

Creo que el siguiente argumento responde a su pregunta. Me recuerda a una gran cantidad de los ejercicios en la topología básica curso que tomé durante mi carrera. Para los momentos de diversión.

Recordemos que $\pi$ es una inmersión, así que para cualquier $x$ $E$ existe un barrio de la forma $U \times V$, de tal manera que $\pi$ se identifica con la proyección de $U \times V \to V$. Supongamos que sólo sabemos que $E_t := \pi^{-1}(t)$ es compacto para cualquier $t$$B$, y vamos a demostrar que $\pi$ es adecuado.

Deje $K \subset B$ ser compacto y establecer $L = \pi^{-1}(K)$. Deje $(\mathcal U_\alpha)$ ser un cubrimiento de a $L$ por la apertura de los subconjuntos de a $E$. Vamos a demostrar que existe un número finito de cobertura de $E$ por la apertura de los subconjuntos de a $(\mathcal U_\alpha)$, y por lo tanto por los conjuntos de la cubierta original.

Tome $t \in K$. Encontrar vecindarios $\mathcal U_1, \ldots \mathcal U_{n(t)}$ que cubren $E_t$. Para cualquier punto de $x \in E_t$, encontramos los barrios $U_{t,x} \times V_{t,x} \subset \mathcal U_{j(x)}$ algunos $j(x)$ ($\mathcal U_{j(x)}$ siendo uno de los anteriores), de tal manera que el mapa de $\pi$ se identifica con la proyección de $U_{t,x} \times V_{t,x} \to V_{t,x}$.

La compacidad de $E_t$ da un número finito de estos $U_{t,x_\nu} \times V_{t,x_\nu}$ que cubren $E_t$ y tal, que hay un $V_t \subset B$ que figura en la imagen de cualquier $V_{t,x_\nu}$ $\pi$ (la intersección de un número finito de estos $V$ contiene $t$).

Ahora: $K$ es compacto, por lo que es cubierto por un número finito de los $V_t$. La correspondiente colección finita $(U_{t,x_\nu} \times V_{t,x_\nu})$ cubre $L$, y consta de subconjuntos de elementos de $(\mathcal U_\alpha)$. Por lo tanto un número finito de elementos de $(\mathcal U_\alpha)$ cubierta $L$.

Answer 2

Lamentablemente, ni sobreyectiva en inmersión de variedades lisos cuyas fibras son colectores lisos compactos es necesariamente correcta. Por ejemplo, considerar $\pi: \mathbb{RP}^1 \times (\mathbb{R} \sqcup \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{RP}^1$, donde se asigna un $\mathbb{RP}^1 \times \mathbb{R}$ por el % de inclusión $(a,b) \mapsto b$y el otro se asigna por $(a,b) \mapsto b^{-1}$.

No es correcta, tengo miedo, y la hipótesis de probidad es necesaria prueba de Gunnar.

Answer 3

No puedo responder a tu pregunta, pero si tomamos $E$ a ser el topologist de la curva sinusoidal y su proyección a $B=[0,1]$ tenemos un topológico (es decir, continua) de la familia de los puntos (compact subespacios, los análogos de la compacta complejo submanifolds) que, sin embargo, no es adecuado como un mapa de espacios topológicos, ya $E=\pi^{-1}(B)$ no es compacto, mientras que $B$ es.

Podemos obtener similares nonproper ejemplos de topológico familias con compacto de fibras de la modificación de las fibras o la base.

Aquí la base es un colector, pero no el espacio total/familia, y no me vea de inmediato, tales contraejemplos con las familias de topológicos compactos colectores.

Realmente no entiendo cómo Ehresmann del teorema se utiliza en sus razonamientos, en particular, si usted obtener ese $\pi$ es propio de ella.