Mapa lisa $S^1 \to S^2$ no puede ser sobreyectiva

Question

Por qué no puede un liso (o por tramos lineales) mapa de $S^1 \to S^2$ ser surjective? Hay espacio para el llenado de las curvas, pero la costumbre ejemplos muy "chueco" definiciones.

UPD UN poco de fondo para este problema. Es parte de él la prueba de que todo el vector normal campos en $S^1 \subset \mathbb{R}^4$ son homotópica. Una vez que se demostró que cada mapa de $S^1 \to S^2$ es homotópica a un modelo lineal por tramos o suave, que es lo que queda para demostrar la declaración.

UPD Una cosa más. Este es un primer semestre en el conjunto de tareas. Adrs del teorema no es exactamente lo que le da la intuición además de este problema. Respuesta de PL es lo que yo estaba buscando. ;) Sería genial encontrar un razonamiento como este para el buen caso.

Answer 1

Puede ser más fácil para un mapa de PL que uno liso: se encuentra la imagen de una curva de PL en finito muchos grandes círculos. Pero no hay espacio topológico es la Unión de conjuntos densos en ninguna parte finito muchos (o para un uso innecesariamente gran martillo el teorema de categoría de Baire).