Deje $\alpha > 0$ ser un número real y consideremos el conjunto $S(\alpha)$ de los números naturales $n$ de manera tal que la parte fraccionaria de $\alpha \cdot n$ "comienza" con la representación de $n$ (en base $10$). Formalmente, $$ S(\alpha) = \{k\in \mathbb{N}:k=\lfloor \operatorname{frac}(\alpha k)\cdot 10^{1+\lfloor\log_{10} k \rfloor}\rfloor\} $$ donde$\operatorname{frac}(x) = x-\lfloor x\rfloor$$x>0$, denota la parte fraccionaria de $x$.
Por ejemplo, $57211\in S(\sqrt{2})$, ya que el $57211\sqrt{2} = 80908.\underline{57211}692\cdots$.
Si $\alpha$ es un número irracional, sabemos que $\operatorname{frac}(\alpha\cdot k)$ es distribuido uniformemente en $(0,1)$, por lo tanto, el uso de un áspero heurística argumento basado en el hecho de que $\sum\frac{1}{k}$ diverge, se puede esperar que $S(\alpha)$ tener escasa, pero infinitos elementos.
Un par de cálculos relativos a la bien conocida irracional constantes de apoyo a esta intuición. Por ejemplo, tenemos $$ S(\pi) = \{ 1,2,38,76,946,24996,3595182,61864425177,\dots\}\,, $$ y $$ S(\sqrt{2})=\{ 772,9792,57211,535090,6101272,65645433,9169209625,16835518309,\puntos\}\,, $$ pero lo que realmente me sorprende es $$ S(e)=\{ 5,191,\\ 1100,1210,1320,1430,1540,1650,1760,1870,1980,2090,2200,2310,2420,2530,2640, 2750,\\ 2860,2970,3080,3190,3300,3410,3520,3630,3740,3850,3960,4070,4180,4290,4400,4510,\\ 4620,4730,4840,4950,5060,5170,5280,5390,5500,5610,5720,5830,5940,6050,6160,6270,\\ 6380, 6490,6600,6710,6820,6930,7040,7150,7260,7370,7480,7590,7700,7810,7920,8030,\\ 8140,8250, 8360,8470,8580,8690,8800,8910,9020,9130,9240,9350,9460,9570,9680,\\ 1865037,5422244075, \dots\}\,. $$ Como usted puede ver, hay $79$ entre $10^3$$10^4$, todos los divisible por 10.
Mi pregunta es: es el comportamiento de $S(e)$ sólo una coincidencia, o la naturaleza de la $e$ tiene algo que ver con ella?
