He oído que todos los condicionales completos (según lo utilizado en Gibbs muestreo) puede determinar la distribución conjunta. Pero no entiendo por qué y cómo. ¿O mal oír? ¡Gracias!
Respuesta
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Esta aparentemente sencilla pregunta es más profunda de lo que parece, lo que nos lleva todo el camino a la Hammersley-Clifford teorema. El hecho de que podemos recuperar la distribución conjunta de la totalidad de los condicionales es lo que hace que el muestreador de Gibbs sea posible. Puede ser visto como un resultado sorprendente, si recordamos que los marginales no determinar la distribución conjunta.
Vamos a ver qué pasa si calculamos formalmente con las conocidas definiciones de la articulación, condicionales y marginales de las densidades. Desde $$ f_{X,Y}(x,y)=f_{X\a mediados de Y}(x\a mediados de y)\,f_Y(y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x) \, , $$ tenemos $$ \int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\a mediados de Y}(x\a mediados de y)}dy = \int \frac{f_Y(y)}{f_X(x)}dy = \frac{1}{f_X(x)} \, , $$ y podemos formalmente recuperar la articulación de la densidad de la totalidad de las oraciones condicionales de decisiones $$ f_{X,Y}(x,y) = \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{\int f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\a mediados de Y}(x\a mediados de y)\,dy} \, . \qquad (*) $$
El problema con este formales de cálculo es que se supone que todos los que participan en los objetos no dejan de existir.
Por ejemplo, considere lo que sucede si se nos da que $$ X\a mediados de Y=Y\sim\text{Exp}(y) \qquad \text{y} \qquad Y\mid X=x\sim\text{Exp}(x) \, . $$ De ello se desprende que $f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\mid Y}(x\mid y) = x /y$, y la integral en el denominador de $(*)$ diverge.
Para garantizar que podemos recuperar la articulación de la densidad de la totalidad de los condicionales el uso de $(*)$ necesitamos las condiciones de compatibilidad se discute en este documento:
"Compatible Distribuciones Condicionales", Barry C. Arnold y S. James Prensa, Revista de la Asociación Americana de Estadística, Vol. 84, Nº 405 (1989), pp 152 a 156.
Finalmente, lea la discusión sobre la Hammersley-Clifford Teorema de Robert Casella y del libro
