Forma más sencilla de mostrar $x^2 - 229y^2 = 12$ no tiene ninguna soluciones en números enteros

Question

Pidiendo a Wolfram Alpha no cuenta, pero para lo que vale, ya lo he hecho así.

He tratado de plazas modulo de unos valores diferentes. Por ejemplo, el modulo $36$, tenemos la posibilidad de que $x^2 \equiv 13$ (por ejemplo, si $x = 7$) y $229y^2 \equiv 1$ (por ejemplo, si $y = 7$ también). Esta $13 - 1$ problema se muestra en la mayoría de los otros módulos que he probado.

Es aritmética modular el camino a seguir, solo que no he probado el módulo de derecho, sin embargo, o es un método diferente es el camino a seguir?

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Esto va a mostrar que la $3$ es irreductible, pero no prime en $\mathcal{O}_{\textbf{Q}(\sqrt{229})}$. Desde la unidad fundamental es el de norma $-1$, I don ' t tiene que preocuparse acerca de $x^2 - 229y^2 = -12$, y dado que la unidad fundamental es lo que se denomina "media entero," I don't tiene que preocuparse acerca de $x^2 - 229y^2 = \pm 3$.

Answer 1

La continuación de la fracción de $\sqrt{229}$$[15,\dot7,1,1,7,\dot{30}]$. El convergents a $\sqrt{229}$ derivados de la continuación de la fracción se $p/q=15/1,106/7,121/8,227/15,1710/113,\dots$ Los valores de $p^2-229q^2$ $-4,15,-15,4,-1,\dots$ – estos repetir (con cambiado de signo), ya que la continuación de la fracción es periódica.

Ahora hay un teorema que dice que si $p^2-Dq^2=c$ $|c|<\sqrt D$ $p/q$ es convergente para la continuación de la fracción de $\sqrt D$. Tenemos $D=229$, $c=12$ de modo que la enfermedad se mantiene, pero no convergente nos da $p^2-229q^2=12$, de manera que la ecuación no tiene solución.

El teorema que afirma en el http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html pero también en cualquier libro de texto de tratamiento de fracciones continuas y la ecuación de Pell, donde también encontrarás los detalles detrás de las otras afirmaciones que he hecho aquí.

EDIT. Tenga en cuenta que Darío Alpern tiene un solver para $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$. En el Paso a paso de modo, que le dice exactamente lo que hace en un problema determinado. Para este problema, que utiliza exactamente el método que yo he utilizado (aunque es incluso más escaso en detalles de los que he estado). Tuve algunos problemas para conseguir el solver para el trabajo, aunque sin suerte en Safari, ni en Firefox, pero funcionó bien en Chrome.

Dario tiene algunas otras herramientas en su sitio que vale la pena saber.