Manecillas de reloj, revisitado.

Question

Ya ha sido contestada (aquí) que es imposible que el (movimiento continuo) de las manos de un reloj a trisect la cara de dicho reloj. Incluso, idealmente, la hora, el minuto y el segundo de la mano puede nunca pares forman ángulos de 120 grados el uno con el otro. Podemos encontrar el momento del día donde la mayoría de los casi hacer?

Para poner una métrica en esto uno podría tener la zona de el sector más pequeño, dividido por el sector más grande. (Uno de los unatainable óptima.) O agregar la cantidad por la que los tres ángulos son de fuera.

$$\left|\frac{2\pi}{3} - \measuredangle H M\right| + \left|\frac{2\pi}{3} - \measuredangle H S\right| + \left|\frac{2\pi}{3} - \measuredangle M S\right|$$

donde el cero es ahora el unatainable óptimo.

Answer 1

Lema. $$ \left| e^{i\,\alfa} - e^{i\,\beta} \right|^2 = \\ \left| \; \left[ \cos(\alpha) + i\,\sin(\alpha)\right] - \left[\cos(\beta) + i\,\sin(\beta) \right] \; \right|^2 = \\ \left[ \cos(\alpha) - \cos(\beta) \right)^2 + \left[ \sin(\alpha) - \sin(\beta) \right)^2 = \\ \cos^2(\alpha) - 2\cos(\alpha)\cos(\beta) + \cos^2(\beta) + \sin^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta) + \sin^2(\beta) = \\ 2 - 2\cos(\alpha\beta) $$ Método De Mínimos Cuadrados. Dos posibilidades: $$ \left| e^{i(\theta+2\pi/3)} - e^{i12\theta} \right|^2 + \left| e^{i(\theta-2\pi/3)} - e^{i720\theta} \right|^2 = \mbox{mínimo}(\theta) \\ \left| e^{i(\theta-2\pi/3)} - e^{i12\theta} \right|^2 + \left| e^{i(\theta+2\pi/3)} - e^{i720\theta} \right|^2 = \mbox{mínimo}(\theta) $$ Lo mínimo es el más pequeño. Con el lema: $$ 2 - 2\cos(\theta+2\pi/3-12\theta) + 2 - 2\cos(\theta-2\pi/3-720\theta) = \mbox{mínimo}(\theta) \\ 2 - 2\cos(\theta-2\pi/3-12\theta) + 2 - 2\cos(\theta+2\pi/3-720\theta) = \mbox{mínimo}(\theta) $$ Algoritmo de fuerza bruta con el muestreo $\Delta\theta = 2\pi/(60\times 720)$ :

programa de klok;

función mínima(theta : doble; teken : integer) : doble;
comenzar
 mínimo := 2 - 2*cos(theta+teken*2*pi/3 a 12 años*theta)
 + 2 - 2*cos(theta-teken*2*pi/3-720*theta);
end;

la función normal(theta : doble) : doble;
var
 OK : boolean;
 v : doble;
comenzar
 v := theta;
 OK := false;
 mientras no ACEPTAR hacer
comenzar
 OK := (0 <= v) y (v < 2*pi);
 v := v 2*pi;
end;
 normal := v + 2*pi;
end;

procedimiento brute_force(teken : integer);
var
 k : integer;
 M,min,p,w : doble;
comenzar
 min := 8; w := 0;
 para k := 0 a 43200-1 ¿
comenzar
 p := k*2*pi/43200;
 M := mínimo(p,teken);
 si min > M, entonces
comenzar
 w := p;
 min := M;
end;
end;
 Writeln('Mínimo =',min);
 Writeln('H =',w,' <',w+2*pi/43200);
 Writeln('M =',normal(12*w),' =',w+teken*2*pi/3);
 Writeln('S =',normal(720*w),' =',w-teken*2*pi/3);
Writeln;
end;

comenzar
brute_force(+1);
brute_force(-1);
final.

De salida (en radianes):

Mínimo = 1.32888417836478 E-0004
H = 3.04690854166910 E+0000 < 3.04705398577343 E+0000
M = 5.14697596413128 E+0000 = 5.14130364406230 E+0000
S = 9.42477796078314 E-0001 = 9.52513439275905 E-0001

Mínimo = 1.32888417839328 E-0004
H = 3.23627676551049 E+0000 < 3.23642220961482 E+0000
M = 1.13620934304831 E+0000 = 1.14188166311729 E+0000
S = 5.34070751109978 E+0000 = 5.33067186790368 E+0000

La diferenciación de las funciones mínimas, resultando en dos ecuaciones: $$ 11\sin(11\theta-2\pi/3) + 719\sin(719\theta+2\pi/3) = 0 \\ 11\sin(11\theta+2\pi/3) + 719\sin(719\theta-2\pi/3) = 0 $$ La solución de estos con ARCE, dando como resultado numérico de refinamiento de la anterior:

Dígitos := 50;
fsolve(11*sin(11*theta-2*Pi/3)+719*sin(719*theta+2*Pi/3)=0,theta=3.0469..3.0470);
fsolve(11*sin(11*theta+2*Pi/3)+719*sin(719*theta-2*Pi/3)=0,theta=3.2362..3.2364);

Dar (Horas de mano en radianes):

3.0469223755142191756046177765785671073381009266460
3.2362629316653673013206689899804386610562378721043

No se sabe cuál de los dos es el mejor. Parece que los mínimos son exactamente los mismos, a saber:

0.0000339325557414428099817512048046050292710528311

Answer 2

Ampliando Han de Bruijn del trabajo creo que podemos hacerlo mejor. (Para ser caballeroso, me voy premio de la recompensa.) las dos funciones que se establecen para minimizar son:

$F_\pm(\theta) = 4 - 2\cos(\frac{2 \pi}{3} \mp 11 \theta)-2\cos(\frac{2 \pi}{3} \pm 719 \theta)$

La diferenciación y la simplificación, nos encontramos con que los extremos de estas funciones se encuentran en las raíces de

$G_\pm(\theta) = 719 \cos(\frac{\pi}{6} \pm 719\theta)-11\sin(\frac{\pi}{3}+11\theta)$

Hay 1437 de tales raíces para cada una de las $G_\pm$ sobre el intervalo de $[0\le \theta<2\pi]$. El uso de Mathematica he encontrado cada uno a la alta precisión y sustituido de nuevo en $F_\pm$. Me encontré con un único mínimo para $F_\pm$. También encontré que los mínimos eran los mismos pero tiene un valor más bajo:

{$\min F_\pm$, $\theta$} = { $8.483 \times 10^{-6}$, $1.52346119$ (radianes de horas de mano)}

Así que esto ocurre alrededor de $1.52346119*720/(2\pi) = 174.575$ minutos

O a las 02:54:34.54