He leído en el libro métodos de álgebra homológica de Gelfand y Manin que la categoría derivada de un abelian categoría $A$ es no abeliano. Ahora me parece mal, porque si $A = 0$ entonces $D (A) = 0$ y por lo que es abeliano. ¿Sabe usted Qué afirmación es cierta? (Como cada categoría derivada de una categoría distinta de cero no es abelian) ¿y sabes cómo demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje que $\mathscr$ ser un abelian categoría. La derivada de categoría $D(\mathscr{A})$ es abelian si y sólo si $\mathscr$ es semisimple.
Recordemos que un abelian categoría se llama semisimple si, todas exacta de las secuencias de split. Equivalentemente, $\mathscr$ es abelian y para todos los morfismos $f\colon A \a B$ hay un pseudoinverse de morfismos $g\colon B \a$, es decir, una de morfismos de $g$ que $fgf = f$ y $cuerpo = g$: Si $\mathscr$ es semisimple, el factor $f$ a través de su imagen como $f = i j$, elija una izquierda inversa $k$ para $i$ y un derecho inversa $l$ para $j$ y $g = lc de dólares para que $f g f = (ij)(lc)(ij) = i(jl)(ki)j = ij = f$ y de manera similar, $cuerpo = g$; por la otra dirección nota que $fgf = f$ y $f$ monic implica que $gf = 1$, por lo que cada monic divisiones, y doblemente cada epic split.
Así, la derivada de la categoría de $R$-módulos es abelian si y sólo si $R$ es un anillo semisimple. Véase también Lam, Un primer curso en la no-conmutativa anillos, y Teorema de Definición (2.5), página 27 para este punto. Más explícitamente, la derivada de la categoría de $k$-espacios vectoriales sobre un campo $k$ es abelian mientras que el derivado de la categoría de abelian grupos no abelian.
El ingrediente principal para responder a su pregunta es proporcionado por el siguiente:
Lema (Verdier). Un triangular categoría $\mathscr T$ es abelian si y sólo si todos los morfismos $f\colon A \a B$ es isomorfo a $A' \oplus I \xrightarrow{\begin{bmatrix} 0 & 1_I \\ 0 & 0\end{bmatrix}} I \oplus B'$.
En particular, en un abelian trianguladas categoría $\mathscr T$ cada morfismos $f$ tiene un pseudoinverse de $g$. Desde un abelian categoría $\mathscr{A}$ incorpora plenamente fielmente en su deriva categoría $D(\mathscr A)$ por la identificación de un objeto de $\mathscr{A}$ con un complejo concentrado en grado cero, esto implica inmediatamente que $\mathscr{A}$ debe ser semisimple si $D(\mathscr A)$ es abelian.
Por el contrario, si $\mathscr{A}$ es semisimple abelian $D(\mathscr{A})$ es equivalente a la abelian categoría $\mathscr{A}^{\mathbb{Z}}$ a través de la functor que envía un complejo $A$ a su homología complejo $H(a^\bullet)$ con $H^k(A)$ grado $k$ y cero diferenciales. Esto queda demostrado en detalle en la Sección III.2.3, página 146f de Gelfand–Manin los Métodos de Álgebra Homológica.
La prueba del lema es relativamente fácil: sin Duda, si todos los morfismos es de la forma descrita a continuación, $\mathscr{T}$ es abelian debido a que $f$ ha núcleo $A'$, imagen $I$ y cokernel $B$ y eso es todo lo que necesitamos.
Por otro lado, si $\mathscr{T}$ es abelian, a continuación, todos los morfismos $f\colon A \a B$ factores más su imagen como $f = me$ con un epimorphism $e\colon A \twoheadrightarrow I$ y un monomorphism $m\colon I \rightarrowtail B$ y esto reduce el lema de la declaración:
En un triangular categoría todas las monomorphisms y todos epimorphisms split.
Recordemos que el morfismos axioma [TR3] muestra que dos días consecutivos de morfismos en un distinguido triángulo $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} a[1]$ componer a cero. Si $f$ pasa a ser monic $fh[-1] = 0$ muestra que $h[-1] =0$, entonces $h = 0$. Aún suponiendo que $f$ a monic, aplicar la homológica functor $\operatorname{Hom}(C,{-})$ a los ilustres triángulo $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{0} [1]$ para obtener la secuencia exacta $$ 0 \a \operatorname{Hom}(C,A) \a \operatorname{Hom}(C,B) \a \operatorname{Hom}(C,C) \a 0 $$ muestra que $g$ tiene derecho inversa y la aplicación de la cohomological functor $\operatorname{Hom}({-},A)$ a que distinguen triángulo muestra que $f$ ha dejado inversa. Se sigue de esto que nuestros distinguidos triángulo $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{0} [1]$ con monic $f$ es isomorfo al triángulo que $A \a \oplus C \C \a[1]$ obtenida por la toma de la suma directa de los distinguidos triángulos $A \\0 \a[1]$ y $0 \C \C \a 0[1]$.
Volviendo a nuestro general de morfismos $f = me$ y la aplicación de la observación anterior a la epimorphism $e$ y el monomorphism $m$ da lugar a una división de $A \cong Un'\oplus I$ y $B \cong I \oplus B'$ y $f$ factores como desee.
Vea también estos dos MO-hilos:
El argumento anterior es esencialmente contenida en Chapitre II, Proposición 1.2.9, p.101 y la Proposición 1.3.6, p.108 en esta parte de Verdier la tesis de Des las categorías dérivées des las categorías abéliennes, disponible electrónicamente en Georges Maltsiniotis la página de inicio que preparó el Astérisque edición de la tesis en los mediados de los años 90.
