Esto es lo que tengo. Nota: No se me permite el teorema de Cauchy o los teoremas de Sylow.
Dejemos que $|G| = 275$ . Así que sé $275 = 5\times5\times11$ . Si asumo que $G$ es cíclico entonces existe $x\in G$ tal que $|x| = 275$ . Entonces $|x^{55}| = 5$ y he terminado.
Si $G$ no es cíclico entonces asumo que no contiene elementos de orden $275$ . Entonces todos los elementos de $G$ tener orden $1,5,11,25,55$ . Tiene un elemento de orden $5$ entonces me detengo porque hemos terminado. Así que miro un elemento de orden $|x| = 25 \text{ or } 55$ pero luego no $|x^{5 \text{ or } 11}| = 5$ así que yo también habría terminado aquí. Así puedo decir $G$ tiene elementos de orden $11$ sólo. Así, para cada elemento de orden $11$ Puedo mirar $\langle x\rangle$ y esto tendrá $|\langle x\rangle|=11$ para cada subgrupo distinto obtendré $10$ elementos distintos y por lo tanto si hay k subgrupos de este tipo tendré $10k + 1$ elementos y $275 = 10k+1 \iff 274 = 10k$ pero $10$ no divide $274$ así que $G$ debe tener un elemento de orden $5$ .
¿Es esto suficiente o tengo que mostrar más y, quizás más importante, funciona?
(edición: ortografía)
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A mí me parece bien.
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Este es un resultado directo del teorema de Cauchy o del teorema de Sylow en caso de que los hayas estudiado.
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@user53970 , los conozco por estudio independiente pero no han aparecido en el curso por lo que no creo que me permitan usarlos.
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Su argumento es correcto. Lo único que creo que deberías añadir es por qué $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = e $ para todos $x,y \in G$ .
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@user53970 , Esto es porque si $h \in <x> \cap <y>$ entonces $h^n \in <x> \cap <y>$ y como $x,y$ tienen el mismo orden vemos $<x> = <y>$ o $<x> \cap <y>= \{e\}$ ¿verdad? Por lo tanto, dos subgrupos cualesquiera de orden 11 tienen una intersección trivial o son iguales.
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Exactamente. Cualquier $h \in \langle x \rangle \cap \langle y \rangle$ tal que $h \neq e$ sería de orden $11$ y como $\langle h \rangle \subset \langle x \rangle$ se deduce que $\langle h \rangle = \langle x \rangle$ . De la misma manera $\langle h \rangle = \langle y \rangle$ .