¿Si el valor absoluto de una función analítica $f$ es una constante, debe ser una constante $f$?

Question

He estado pensando cómo probar que una analítica de la función $f$ es una constante si el valor absoluto de a $f$ es una constante, pero no he descubierto todavía.

Lo que yo estaba pensando es el uso de Cauchy-Riemann ecuaciones, pero no funcionó bien...

Si esto no es cierto, me gustaría saber el contraejemplo...

Aquí es lo que he intentado:

$$|f|=|u+iv|=\sqrt {u^2+v^2}$$

Por lo tanto $u^2+v^2$ es una constante.

(1) $\displaystyle u\frac {\delta u}{\delta x}+v\frac {\delta v}{\delta x}=0 $

(2) $\displaystyle u\frac {\delta u}{\delta y}+v\frac {\delta v}{\delta y}=0 $

Enchufe de Cauchy Riemann en (2).

$$\displaystyle -u\frac {\delta v}{\delta x}+v\frac {\delta u}{\delta x}=0 $$

y yo estoy atrapado aquí...

Answer 1

Desde allí no ha sido publicado/aceptado la respuesta, voy a publicar mi propia solución.

Deje $f = u + iv$, lo $|f| = |u + iv| = \sqrt{u^2 + v^2}$.

Esto implica $u^2 + v^2 = k$ para algunas constantes $k$. Si $k = 0$, entonces hemos terminado, así que considere la $ k \ne 0$. Ahora tomando derivadas parciales encontramos

$$uu_x + vv_x = 0$$ $$uu_y + vv_y = 0$$

El uso de Cauchy-Riemann ecuaciones

$$uv_y + vv_x = 0$$ $$-uv_x + vv_y = 0$$

La equiparación de ambos lados da $ v_x(v+u) + v_y(u-v) = 0$ y el resultado se sigue inmediatamente.

Answer 2

Este método utiliza el hecho de que si $f$ $\bar{f}$ son analíticos, a continuación, $f$ es constante. Si $|f|=0$ $f$ es siempre cero. Si $c=|f|>0$ tenemos $c^2=f\bar{f}$$\bar{f}=c^2/f$. Desde $f\neq 0$ se sigue que $\bar{f}$ es analítica, y, por tanto, $f$ es constante.

Answer 3

También se puede deducir esto de la asignación abierta teorema: un no constante holomorphic función es abrir un mapa. Si $|f|$ es constante, entonces $f(\mathbf C)$ está contenida en el círculo de radio $|f|$, lo que ha vacío interior. Por lo tanto $f$ es constante.

Answer 4

Si $f$ es analítica en todos los de $\mathbb C$ $f$ es constante por el teorema de Liouville. Sin embargo, Chris argumento de las obras de mayor generalidad.