Para cada número irracional $b$ ¿existe un número irracional $a$ tal que $a^b$ ¿es racional?

Question

Es bien sabido que existen dos números irracionales $a$ y $b$ tal que $a^b$ es racional.

Por cierto, me han interesado las dos siguientes proposiciones.

Propuesta 1 : Para cada número irracional $a\gt 0$ existe un número irracional $b$ tal que $a^b$ es racional.

Propuesta 2 : Para cada número irracional $b$ existe un número irracional $a$ tal que $a^b$ es racional.

Tengo lo siguiente :

La proposición 1 es cierta.

Supongamos que ambos $\frac{\ln 2}{\ln a}$ y $\frac{\ln 3}{\ln a}$ son racionales. Existe un conjunto de cuatro enteros no nulos $(m_1,m_2,n_1,n_2)$ tal que $\frac{\ln 2}{\ln a}=\frac{n_1}{m_1}$ y $\frac{\ln 3}{\ln a}=\frac{n_2}{m_2}$ . Dado que uno tiene $a=2^{m_1/n_1}=3^{m_2/n_2}$ , uno tiene $2^{m_1n_2}=3^{m_2n_1}$ . Esto es una contradicción. De ello se deduce que, o bien $\frac{\ln 2}{\ln a}$ o $\frac{\ln 3}{\ln a}$ es irracional. Por lo tanto, cualquiera de las dos opciones $b=\frac{\ln 2}{\ln a}$ o el ajuste $b=\frac{\ln 3}{\ln a}$ funciona.

Entonces, empecé a considerar si la proposición 2 es verdadera.

Para demostrar que la proposición 2 es cierta, basta con mostrar que para cada número irracional $b$ existe un número racional $c$ tal que $c^{1/b}$ es irracional.

Esto parece cierto, pero no he podido demostrarlo. Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente :

Pregunta : ¿Es cierta la proposición 2? Si sí ¿Cómo podemos demostrarlo? Si no ¿Qué es un contraejemplo?

Propuesta 2 : Para cada número irracional $b$ existe un número irracional $a$ tal que $a^b$ es racional.

Answer 1

Lo que se quiere demostrar es: dado un número irracional $b$ , entonces uno de los siguientes números : $$r^{\frac{1}{b}}\ \ \ \ \ \ r\in \Bbb Q $$ es irracional, esto parece ser un resultado alcanzable por lo que sabemos hoy en día sobre la trascendencia de los números, tenemos por ejemplo el siguiente teorema:

Teorema de los seis exponenciales :Deja $(x_1,x_2)$ y $(y_1,y_2,y_3)$ sean dos conjuntos de números complejos linealmente independientes sobre los racionales. Entonces al menos uno de $$e^{x_1y_1},e^{x_1y_2},e^{x_1y_3},e^{x_2y_1},e^{x_2y_2},e^{x_2y_3}$$ es trascendental.

Dado un número irracional $x$ , dejemos que $x_1=1,x_2=x$ y $y_1=\ln(p_1),y_2=\ln(p_2),y_3=\ln(p_3)$ para algunos primos $p_1,p_2,p_3$ por lo que utilizando este teorema tenemos : al menos una de: $$p_1,p_2,p_3,p_1^x,p_2^x,p_3^x $$ es irracional lo que nos da la siguiente consecuencia bien conocida:

Teorema de los seis exponenciales (caso especial). Si $x$ es un número real tal que $p_1^x$ , $p_2^x$ y $p_3^x$ son números racionales para tres primos distintos $p_1, p_2$ y $p_3$ entonces $x\in \Bbb Z$

Si utilizamos este teorema uno $k^{\frac{1}{b}}$ de los números $2^{\frac{1}{b}},3^{\frac{1}{b}},5^{\frac{1}{b}}$ es irracional. y por lo tanto se puede tomar $a=k^{\frac{1}{b}}$ y tenemos $a^b$ es un número entero entre $\{2,3,5\}$ lo que implica, por supuesto, que es racional.

Comentario Quizá haya una respuesta más sencilla que no utilice este teorema fuerte.