Variedades algebraicas en $\mathbb{C}^n$ no tienen puntos interiores

Question

Sé que el cero de un no-cero del polinomio en $\mathbb{C}[x_1,...,x_n]$ no puede tener puntos del interior, pero estoy tratando de encontrar una prueba que no requiere de un conocimiento de análisis complejo como holomorphic funciones, etc...

Así, supongamos que el $V=\{(x_1,\cdots, x_n)\in \mathbb{C}^n: p(x_1,\cdots,x_n)=0\}$. Ahora bien, si hay un punto interior en $\mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_n) \in V$ existe $\epsilon>0$ tal que $\displaystyle N_\epsilon(\mathbf{y}) \subseteq V$. Pero sabemos que en cada espacio métrico abrir bolas son convexas, así que para todos los $\lambda \in \mathbb{R}$ el punto de $\mathbf{\bar{y}}=\lambda\cdot\mathbf{y}+(1-\lambda)\cdot \mathbf{y'} \in N_\epsilon(\mathbf{y})$ se encuentra en $V$donde $\mathbf{y'} \in N_\epsilon(\mathbf{y})$.

Si conecto $\mathbf{\bar{y}}$ a $p(x_1, \cdots, x_n)=0$ conseguiré un nuevo no-cero del polinomio $p_1(x_1,\cdots,x_n,\lambda)=0$. Ahora, si puedo solucionar $x_1,\cdots,x_n$ y considerar la posibilidad de $p_1(x_1,\cdots,x_n,\lambda)$ como un polinomio sólo en $\lambda$ entonces veo que de $f(\lambda)=p_1(x_1,\cdots,x_n,\lambda)$, debido a la convexidad $f(\lambda)$ debe desaparecer en todos los $\lambda \in [0,1]$, pero a partir del teorema fundamental del álgebra sabemos que todos los no-cero del polinomio en $\mathbb{C}[\lambda]$ puede tener un número finito de raíces, por lo que, $f(\lambda)=0$. Pero no veo la manera de $f(\lambda)=0$ me llevan a una contradicción.

Answer 1

Por inducción en $n$, puedo demostrar que la única cerrado subvariedad $V$ $\mathbf C^n$ tener $0$ como un punto interior es $V=\mathbf C^n$. Para $n=1$, es obvio. Ahora supongamos $V \subseteq \mathbf C^n$ y $0$ es un punto interior de a $V$. Para cada complejo hyperplane $H$ pasa a través de $0$, $V \cap H$ es una subvariedad de $H \cong \mathbf C^{n-1}$. Por otra parte $0$ está contenida en el interior de $V \cap H$ (relativa a la topología de la $H$). Por la hipótesis de inducción, se deduce que el $H = H\cap V$, y dado que esto es cierto para cada una de las $H$ y la colección de hyperplanes cubre $\mathbf C^n$, se deduce que el $V=\mathbf C^n$.

Answer 2

Vamos a probar la declaración por inducción.

El caso base $n=1$ se sigue del Teorema Fundamental del Álgebra, por lo tanto, tenemos un número finito de soluciones y por lo tanto no hay puntos del interior.

Para la inducción de paso, se supone que la declaración tiene para algunos $k$. Vamos a demostrar por contradicción. Supongamos $f \in \mathbb{C} [x_1, \ldots x_{k+1}]$ es un polinomio, cuya puesta a cero tiene un punto interior $P$. Deje $f$ evaluar a $0$ en el balón $B_\epsilon(P)$.

El tratamiento de la $f$ como un polinomio en $x_{k+1}$, vamos a $f(x_1\ldots , x_{k+1}) = F(x_{k+1})$ ser un grado $m$ polinomio. Específicamente, vamos a

$$P(x_{k+1}) = \alpha_m x_{k+1}^m + \alpha_{m-1} x_{k+1} ^{m-1} + \ldots + \alpha_0, $$

donde cada una de las $\alpha_i$ son polinomios en $k$ variables, es decir,$\alpha_i \in \mathbb{C} [x_1, \ldots , x_{k}]$. Vamos a mostrar ahora que $\alpha_i$ debe ser un polinomio en $k$ variables cuya puesta a cero tiene un punto interior, que estaría en contradicción con la hipótesis de inducción.

Deje $\bar{p}$ el valor de la proyección del punto de $p \in \mathbb{C}^{k+1}$ a la primera $k$ coordenadas. Ahora, para cualquier $p \in B_\epsilon (P)$, $p = (p_1, p_2, \ldots p_k, p_{k+1})$, ya que también es punto interior, podemos encontrar $m+1$$B_\epsilon (P)$, que están de acuerdo en la primera $k$ coordina con $p$ donde $f$ evalúa a $0$. Deje $\alpha_i$ evaluado en $(p_1, \ldots p_{n-1})$ ser igual a $ A_i$. Entonces, tenemos $k+1$ soluciones para el grado $k$ polinomio

$$A_k x^k + A_{k-1} x^{k-1} + \ldots A_0 =0. $$

Por el Teorema Fundamental del álgebra, estos deben ser un cero del polinomio, lo que significa que $A_i = 0 $. Por lo tanto, para todos los puntos de $p$ en la pelota, tenemos $\alpha_i =0$. Así, encontramos un grado de $k$ polinomio en el que se evalúa a $0$ en el balón $\overline{B_\epsilon (P) }$, y por lo tanto tiene un punto interior. Esta es la contradicción.

Answer 3

Una palabra: diferenciar (la definición de ecuaciones).

Es suficiente para demostrar la declaración de variedades definidas por una ecuación, porque no teniendo interior es una propiedad heredada por subconjuntos.

Si la puesta a cero contiene un punto interior, todos los derivados de la ecuación de definición de la variedad se $0$ en ese punto (y, por tanto, en el barrio de ese punto). Pero, a continuación, la variedad definida por cualquier derivado de la ecuación tiene el mismo punto interior. Por una serie de diferenciaciones, el grado más alto de cualquier término en la definición de la ecuación puede reducirse a $1$, y la cuestión se reduce a si un hyperplane tiene los puntos del interior.

Si lo prefiere, se diferencian de nuevo para reducir a una variedad de grados $0$ sin puntos, por lo tanto no hay puntos del interior.