¿Por qué este espacio es asférico?

Question

Dejemos que $X = Y \cup Z$ sea un espacio de Hausdorff conectado y con trayectoria. Supongamos que $Y$ , $Z$ y $Y\cap Z$ son todas conectadas, conectadas por trayectorias y asféricas, y que el homomorfismo $\pi_1(Y\cap Z) \to \pi_1(Y)$ inducida por la inclusión es inyectiva.

¿Se deduce que $X$ ¿es asférico? Si es así, ¿por qué?

Editar: Esta afirmación es intuitivamente cierta, en el sentido de que una afirmación similar vale para la homología. Es decir, si sabemos que $H_n(Y) = H_n(Z) = H_n(Y\cap Z) = 0$ para todos $n\geq 2$ y el homomorfismo $H_1(Y\cap Z) \to H_1(Y)$ es inyectiva, entonces se deduce que $H_n(X)=0$ para todos $n \geq 2$ . Esto es una consecuencia de la secuencia Mayer-Vietoris: $$\cdots \to H_3(Y)\oplus H_3(Z) \to H_3(X) \to H_2(Y\cap Z) \to H_2(Y)\oplus H_2(Z) \to H_2(X) \to H_1(Y\cap Z) \xrightarrow{\varphi} H_1(Y) \oplus H_1(Z)$$ Enchufar $H_n(Y)=H_n(Z) = H_n(Y\cap Z) = 0$ para $n\geq 2$ obtenemos $$\cdots \to 0 \to 0 \to H_3(X) \to 0 \to 0 \to H_2(X) \to H_1(Y\cap Z) \xrightarrow{\varphi} H_1(Y) \oplus H_1(Z)$$ Claramente $H_n(X) = 0$ para $n\geq 3$ . Además, como el homomorfismo $H_1(Y\cap Z)\to H_1(Y)$ es la primera coordenada de $\varphi$ sabemos que $\varphi$ es inyectiva, y por tanto $H_2(X) = 0$ también.

El problema es que no hay un buen análogo de la secuencia de Mayer-Vietoris para los grupos de homotopía, y las versiones de escisión que conozco sólo funcionan en el caso de que los dos espacios componentes sean $n$ -conectado. Aquí los espacios $Y$ y $Z$ pueden tener grupos fundamentales no triviales, y no me queda claro cómo resolver la cuestión utilizando espacios de cobertura.

Por cierto, estoy dispuesto a hacer más suposiciones topológicas sobre los espacios $X$ , $Y$ y $Z$ . Por ejemplo, son ciertamente semilocales simplemente conectados y localmente compactos, y probablemente tienen el tipo de homotopía de los complejos CW.

Answer 1

Esta pregunta ha sido formulada y respondida en MathOverflow . He replicado la respuesta aceptada por Eric Wofsey a continuación.

Esto es falso en general. Dejemos que $Y=S^1\times S^1$ y que $Z$ sea un disco cuya frontera se identifica con $S^1\times\ast$ . Entonces $Y\cup Z\simeq S^1\vee S^2$ no es asférico. ¿Hay alguna condición adicional en la situación que te interesa que falle para este ejemplo?