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Identidad determinante: $\det M \det N = \det M_{ii} \det M_{jj} - \det M_{ij}\det M_{ji}$

Dejemos que $M$ ser un (verdadero) $n \times n$ matriz. Para $1 \leq i, j \leq n$ denotamos por $M_{ij}$ el $(n-1) \times (n-1)$ que obtenemos cuando el $i$ la fila y $j$ columna de $M$ se eliminan. Ahora, considere la posibilidad de fijar $i$ y $j$ con $i\neq j$ . Sea $N$ sea el $(n-2) \times (n-2)$ que obtenemos al eliminar tanto la $i$ y $j$ y la fila $i$ y $j$ columna de $M$ . Entonces se cumple la siguiente identidad: $$ \det M \det N = \det M_{ii}\det M_{jj} - \det M_{ij} \det M_{ji}. $$

Pudimos demostrar esto mirando todos los diferentes términos que pueden ocurrir en ambos lados al evaluar el determinante como una suma de $n!$ (por ejemplo, los términos que contienen $a_{ji}a_{ij}$ se cuentan tanto $1$ tiempo en el LHS y $1$ tiempo en el RHS).

Buscamos una prueba rápida que no implique escribir el determinante.

Se agradece cualquier sugerencia o enfoque de este problema.

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ND Geek Puntos 880

Sorprendentemente, esto es exactamente el Lemma 3 de mi documento "Casi todas las matrices enteras no tienen valores propios enteros" con Erick B. Wong (además de limitarse a $i=1,j=2$ que se generaliza trivialmente). Hay una prueba corta que parece ajustarse a tus necesidades. También hay una referencia a un libro sobre identidades determinantes curiosas de este tipo en la bibliografía (que es de donde sacamos la prueba en primer lugar).

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