Dejemos que $M$ ser un (verdadero) $n \times n$ matriz. Para $1 \leq i, j \leq n$ denotamos por $M_{ij}$ el $(n-1) \times (n-1)$ que obtenemos cuando el $i$ la fila y $j$ columna de $M$ se eliminan. Ahora, considere la posibilidad de fijar $i$ y $j$ con $i\neq j$ . Sea $N$ sea el $(n-2) \times (n-2)$ que obtenemos al eliminar tanto la $i$ y $j$ y la fila $i$ y $j$ columna de $M$ . Entonces se cumple la siguiente identidad: $$ \det M \det N = \det M_{ii}\det M_{jj} - \det M_{ij} \det M_{ji}. $$
Pudimos demostrar esto mirando todos los diferentes términos que pueden ocurrir en ambos lados al evaluar el determinante como una suma de $n!$ (por ejemplo, los términos que contienen $a_{ji}a_{ij}$ se cuentan tanto $1$ tiempo en el LHS y $1$ tiempo en el RHS).
Buscamos una prueba rápida que no implique escribir el determinante.
Se agradece cualquier sugerencia o enfoque de este problema.