Refiriéndose a esta Conferencia , me gustaría saber cuál es la diferencia entre supremum y máximo. Parece mismo en cuanto la Conferencia es cuando explica pointwise supremum y máximo de pointwise
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Lorin Hochstein
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Un máximo de un conjunto deben ser un elemento del conjunto. Un supremum no tiene que ser.
Explícitamente, si $X$ es (parcialmente) conjunto ordenado, y $S$ es un subconjunto, entonces un elemento $s_0$ es el supremum de $S$ si y sólo si:
- $s\leq s_0$ para todo $s\in S$; y
- Si $t\in X$ tal que $\leq t$ para todo $s\in S$, entonces $s_0\leq t$.
Por el contrario, un elemento $m$ es el máximo de $S$ si y sólo si:
- $s\leq m$ para todo $s\in S$; y
- $m\in S$.
Tenga en cuenta que si $S$ tiene un máximo, entonces el máximo debe ser el supremum: de hecho, si $t\in X$ tal que $\leq t$ para todo $s\in S$, a continuación, en particular $m\in S$, entonces $m\leq t$, lo que demuestra que $m$ satisface las condiciones para ser el supremum.
Pero es posible que un conjunto a tiene un supremum pero no un máximo. Por ejemplo, en los números reales, el conjunto de todos los números negativos ¿ no tiene una máxima: no es negativo número $m$ con la propiedad de que $n\leq m$ para todos los números negativos $n$. Sin embargo, el conjunto de todos los números negativos no tienen un supremum: $0$ es el supremum de el conjunto de los números negativos. De hecho, $a\leq 0$ para todos los números negativos $a$; y si $a\leq b$ para todos los números negativos $a$, entonces $0\leq b$.
El pleno de la relación entre el supremum y la máxima es:
- Si $S$ tiene un máximo de $m$, entonces $S$ también tiene un supremum y de hecho $m$ es también un supremum de $S$.
- Por el contrario, si $S$ tiene un supremum $s$, entonces $S$ tiene un máximo si y sólo si $s\in S$, en cuyo caso el máximo es también de $s$.
En particular, si un conjunto tiene una supremum y un máximo, entonces son el mismo elemento. El conjunto también puede tener ni un supremum ni un máximo (por ejemplo, los racionales como un subconjunto de los reales). Pero si tiene sólo uno de ellos, entonces tiene un supremum que no es un máximo, y no está en el conjunto.
Novarum
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En términos de conjuntos, el máximo es el miembro más grande del conjunto, mientras que el supremum es la menor cota superior del conjunto.
Así, considera $A=\{1,2,3,4\}$. Suponiendo que estamos operando con la normal de reales, el máximo es 4, ya que es el elemento más grande. El supremum también es 4, como cuatro es la menor cota superior de.
Sin embargo, considerar el conjunto $B=\{x | x < 2\}$. A continuación, el máximo de B no es 2, ya que 2 no es un miembro del conjunto; de hecho, el máximo no está bien definida. El supremum, aunque está bien definido: 2 claramente es la menor cota superior para el conjunto.
Va a encontrar muchos puntos de análisis real (har har har), donde es más fácil y más rentable para considerar el supremum de un conjunto dado (o construir el supremum) de lo que sería considerar la posibilidad de construcción o de la máxima.
Harald Hanche-Olsen
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Tomado directamente de la página de la wikipedia:
En matemáticas, dado un subconjunto S de un total o parcialmente conjunto ordenado T, el supremum (sup) de S, si es que existe, es el menor elemento de T que es mayor que o igual a cada elemento de S. por Consiguiente, la supremum también se conoce como la menor cota superior de (lub o LUB). Si el supremum existe, es único. Si S contiene un mayor elemento, luego de que elemento es el supremum; de lo contrario, el supremum no pertenece a S (o no existe). Por ejemplo, el real negativo los números no tienen un mayor elemento, y su supremum es 0 (lo que no es un número real negativo).
