¿Es correcto decir que una declaración sea verdadero o falso tiene que definirse bien?
Por ejemplo: la declaración $$\frac{1}{0} = 1$ $ es ni verdadera ni falsa porque la expresión de la izquierda simplemente no está definida.
O la instrucción:
sdfjinrivodinvr
no es verdadero o falso porque no tiene sentido.
¿O estas "expresiones" declaraciones incluso si no están bien definidos?
Una manera de hacer precisa la distinción que estamos tratando de hacer es la noción de un bien formado fórmula en la lógica. A grandes rasgos esta es una fórmula que se construye a partir de otras fórmulas de una manera significativa, de modo que se pueda asignar algún tipo de significado y es significativo para hablar de si es o no es cierto. Una fórmula que no está bien formado, y no en ningún sentido tener un valor de verdad.
En un sistema formal para hablar acerca de las operaciones aritméticas, la expresión $\frac{1}{0}$ es ya bien formado; de la división de $\frac{a}{b}$ sólo debe estar bien formado si $b \neq 0$.
Creo que la pregunta original del autor permanece todavía sin respuesta - están allí, los enunciados matemáticos que están bien formados y comprensible, pero todavía no son verdaderas o falsas? Nos hemos estado enfocando demasiado en los ejemplos.
Primero de todo, hay declaraciones que no han demostrado ser verdaderos o falsos, pero podría, dado el tiempo suficiente y un cerebro inteligente. Por ejemplo, el primer número de la teoría - si dado el gran número es primo, o no, no puede ser probada verdadero o falso en un momento (sin pruebas a todos los candidatos), pero posiblemente podría ser en el futuro.
A continuación, hay afirmaciones que no puede ser probada, y el hecho de que no puede ser probado ha sido probada. Por ejemplo:
http://www.edge.org/q2005/q05_9.html#dysonf
Así que la respuesta es SÍ.
Las matemáticas no es el estudio de los bits de la tinta en el papel (o píxeles en las pantallas, de hecho), es el estudio de los conceptos y las ideas abstractas. Por lo tanto, cuando usted mira un poco de tinta sobre un trozo de papel, primero tiene que decidir "¿esto obedece a una idea abstracta?" antes de preguntar "¿qué significado matemático hace que la idea de contener?". Antes de preguntar si $\frac{1}{0}=1$ es verdadero o falso, usted necesita pedir significado de los símbolos. Bueno, por lo general, usted no necesita pedir, porque es obvio, pero cuando usted no está seguro de que usted debe recordar que sólo porque usted escribió una cosa, no significa que haya nada en ella.
Por lo tanto yo diría que (a menos que usted dé sentido, y no es "obvio" que significa en este caso) $\frac{1}{0}=1$ no es ni verdadera ni falsa, porque la verdad o la falsedad es una propiedad de los conceptos matemáticos abstractos, y este patrón de píxeles no se asigna a ninguna tal cosa.
En la terminología de programación, yo la describiría como un error de compilación, o un parse error :)
La declaración de $1/0=1$ podría ser razonablemente interpretado en el sentido de que la expresión a la izquierda de "$=$" está definido, y su valor numérico es $1$. Y eso es ciertamente falsa.
Mientras que en la escuela secundaria Jubal Harshaw ganó un debate citando la colonia Británica de Envío de la Junta como de la autoridad para respaldar una declaración de hechos. Pero la colonia Británica de Envío de la Junta nunca existió; él lo hizo. Es su afirmación falsa, o simplemente sin sentido?
(Algunos pueden saber que Jubal Harshaw mismo es un personaje de una novela que tiene un aviso legal en su frente a la materia, diciendo que todas las personas en esta historia son ficticios. Así, uno podría preguntarse si mi afirmación acerca de lo que Jubal Harshaw ¿es verdadero o falso.)
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